Enunciado

Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é três vezes mais provável de sair do que o ponto 2). Calcular: (a) a probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar;

(b) a probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3.

Passo 1

Primeiro, vamos “mastigar o enunciado” e extrair todas as informações relevantes.

Estamos falando de um dado, portanto Ω = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6

O enunciado diz: a probabilidade de sair um certo ponto é proporcial ao seu valor.

Então se:

P 1 = n → P 2 = 2 n

P 1 = n → P 3 = 3 n

P 1 = n → P 4 = 4 n

P 1 = n → P 5 = 5 n

P 1 = n → P 6 = 6 n

Sabendo que a soma das probabilidades deve ser igual a 1, temos:

n + 2 n + 3 n + 4 n + 5 n + 6 n = 1 → n = 1 21

Passo 2

(a) a probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar.

Seja

-“5”: Evento de sair o face 5;

- A: Evento sair ímpar.

Queremos: P 5 A

Estamos tratando de probabilidade condicional, certo? Então, vamos para a fórmula!

P B C = P B ∩ C P C

Substituindo, temos

P 5 A = P 5 ∩ A P A

Logo, precisamos calcular essas duas probabilidades, né? Vamos calcular.

- P ( 5 ∩ A ) : Probabilidade de 5 ser ímpar.

Bom, desde pequenos sabemos que 5 é ímpar, né? Então, falaremos que

P 5 ∩ A = P 5 = 5 n = 5 21

- P ( A ) : Probabilidade de ser ímpar.

Temos que

A = { 1 ,   3 ,   5 }

P A = P 1 + P 3 + P 5 = n + 3 n + 5 n = 9 n = 9 21

Assim

P 5 A = P 5 ∩ A P A = 5 21 9 21 = 5 9 = 0,56

Passo 3

(b) a probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3.

Novamente, probabilidade condicional, certo? Agora com os eventos:

- B: Evento sair um número par;

- D: Evento sair números maiores que 3.

Queremos P ( B | D ) , que será:

P B D = P B ∩ D P D

Logo, precisamos calcular essas duas probabilidades, né? Vamos calcular.

- P B ∩ D : Probabilidade de sair um número par MAIOR do que 3.

B ∩ D = 4,6

P B ∩ D = P 4 + P 6 = 4 n + 6 n = 10 n = 10 21

- P D : Probabilidade de sair um número maior do que 3.

D = 4 ,   5 ,   6

P D = P 4 + P 5 + P 6 = 4 n + 5 n + 6 n = 15 n = 15 21  

Assim

P B D = P B ∩ D P D = 10 21 15 21 = 10 15 = 2 3 = 0,67

Resposta

(a) 0,56

(b) 0,67

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