Enunciado

Os dados a seguir resultaram de um estudo sobre a relação entre o brilho do papel manufaturado ( y ) e as variáveis % H 2 O 2 por peso x 1 , % N a O H por peso x 2 , % silicato por peso x 3 e temperatura do processo x 4 ("Advantages of CEHDP Bleaching for High Brightness Kraft Pulp Production", TAPPI, 1964, p. 170   A - 173   A ). Permitiu-se que cada variável independente assumisse cinco diferentes valores, e esses valores foram codificados para a análise de regressão como - 2 , - 1,0 , 1 e 2

a. Quando se ajustou um modelo (codificado) compreendendo todos os termos lineares, todos os termos quadráticos e todos os termos do produto cruzado, a função de regressão estimada era

y =   84,67 + 0,650 x 1 - 0,258 x 2 + 0,133 x 3       + 0,108 x 4 - 0,1 35 x 1 2 + 0,028 x 2 2 + 0,028 x 3 2       - 0,072 x 4 2 + 0,038 x 1 x 2 - 0,075 x 1 x 3       + 0,213 x 1 x 4 + 0,200 x 2 x 3 - 0,188 x 2 x 4       + 0,050 x 1 x 4  

Use esse modelo estimado para prever o brilho em relação a 0,4 % de H 2 O 2 , 0,4 % de N a O H , 3,5 % de silicato e uma temperatura de 175 . Quais são os valores dos resíduos correspondentes a esses valores das variáveis?

b. Expresse a função de regressão estimada de maneira não codificada.

c. S Q T = 17,2567 e R 2 para o modelo da parte (a) é 0,885 . Ao ajustar um modelo que inclui apenas os quatro termos lineares, o valor resultante de R 2 é 0,721 . Expresse e teste, com nível 0,05 , a hipótese nula que estabelece que os coeficientes de todos os termos quadráticos e do produto cruzado na funçāo de regressāo sāo zero.

d. A função de regressão estimada (codificada) quando apenas termos lineares sāo incluídos é μ ˆ Y ⋅ x 1 , x 2 , x 3 × x 4 = 85,5548 + 0,6500 x 1 - 0,2583 x 2 + 0,1333 x 3 + 0,1083 x 4 . Quando x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 0 , o desvio padrão estimado de μ ˆ γ ∝ 0,0 , 0,0 é 0,0772 . Suponha que se tenha acreditado que o brilho esperado para esses valores dos x i s fosse de 85,0 , no mínimo. As informaçōes fornecidas contradizem essa convicçāo? Expresse e teste as hipóteses apropriadas.

Passo 1

E aí pessoal partiu para mais uma questão de (probabilidade)? Abaixo começaremos trazendo algumas informações do enunciado:

Quando se ajustou um modelo (codificado) compreendendo todos os termos lineares, todos os termos quadráticos e todos os termos do produto cruzado, a função de regressão estimada era

y =   84,67 + 0,650 x 1 - 0,258 x 2 + 0,133 x 3       + 0,108 x 4 - 0,135 x 1 2 + 0,028 x 2 2 + 0,028 x 3 2       - 0,072 x 4 2 + 0,038 x 1 x 2 - 0,075 x 1 x 3       + 0,213 x 1 x 4 + 0,200 x 2 x 3 - 0,188 x 2 x 4       + 0,050 x 1 x 4  

a. Para   x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = + 1 , y ^ = 84.67 + . 650 - . 258 + … + . 050 = 85.390 .

O único y correspondente a esses valores x i é 85,4, então

y - y ^ = 85.4 - 85.390 = . 010 .

Passo 2

Expresse a função de regressão estimada de maneira não codificada.

b. Deixando x 1 ' , … , x 4 ' denotar as variáveis não codificadas,   x 1 ' = . 1 x 1 + . 3 , x 2 ' = . 1 x 2 + . 3 , x 3 ' = x 3 + 2.5 , e x 4 ' = 15 x 4 + 160 ; A substituição de x 1 = 10 x 1 ' - 3 , x 2 = 10 x 2 ' - 3 , x 3 = x 3 ' - 2.5 , e x 4 = x 4 ' + 160 15 produz a função não codificada.

Passo 3

S Q T = 17,2567 e R 2 para o modelo da parte (a) é 0,885 . Ao ajustar um modelo que inclui apenas os quatro termos lineares, o valor resultante de R 2 é 0,721 . Expresse e teste, com nível 0,05 , a hipótese nula que estabelece que os coeficientes de todos os termos quadráticos e do produto cruzado na funçāo de regressāo sāo zero.

c. Para o modelo completo k=14 e para o modelo reduzido l-4, enquanto n-(k+1)=16. Assim H 0 : β 5 = … = β 14 = 0 será rejeitado se f ≥ F 05,10,16 = 2.49 ..

S S E = 1 - R 2 S S T então S S E k = 1.9845 e S S E l = 4.81 46 , dando f = ( 4.8146 - 1.9845 ) / 10 ( 1.9845 ) / 16 = 2.28 . Como 2,28 não é ≥ 2.49 , H o não pode ser rejeitado, portanto, todos os termos de ordem superior devem ser excluídos.

Passo 4

d .   H 0 : μ Y 0,0 , 0,0 = 85.0 será rejeitado em favor de H a : μ Y 0,0 , 0,0 < 85.0 se t ≤ - t . 05,26 = - 1.706 . Com μ ˆ = β ˆ 0 = 85.5548 , t = 85.5548 - 85 . 0772 = 7.19 , que não é certamente ≤ - 1.706 , então H 0 não é rejeitada e a crença anterior não é contrariada pelos dados.

Resposta

a. . 010 .

b. x 4 ' + 160 15 produz a função não codificada.

c. H o não pode ser rejeitado, portanto, todos os termos de ordem superior devem ser excluídos.

d. então H 0 não é rejeitada e a crença anterior não é contrariada pelos dados.

Espero que tenham aprendido com essa questão, até a próxima !

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