Enunciado

Deseja-se comparar o grau de instrução dos habitantes de quatro cidades brasileiras que têm aproximadamente o mesmo tamanho populacional. Uma amostra de 100 habitantes foi sorteada em cada cidade e o nível educacional das pessoas foi observado. Dos resultados apresentados na tabela abaixo, que conclusão podemos tirar, usando nível descritivo?

Passo 1

Olá pssoas, partiu matar mais uma questão!! Dessa vez temos de realizar o teste de homogeneidade para a seguinte variável:

X = g r a u   d e   i n s t r u ç ã o

Repare que estamos estudando o comportamento dessa variável em 4 cidades diferentes; para cada cidade foram colhidas amostras de mesmo tamanho n = 100 .

As hipóteses serão as seguintes:

H 0 : O   g r a u   d e   i n s t r u ç ã o   é   h o m o g ê n e o   e m   c a d a   c i d a d e .

Contra

H 1 : o   g r a u   d e   i n s t r u ç ã o   n ã o   é   h o m o g ê n e o   n a s   c i d a d e s .

Vale muito a pena relembrar que para realizar o teste usamos a aproximação pela distribuição Qui-quadrado:

Q 2 = ∑ i = 1 t ∑ j = 1 s o i , j - E i , j 2 E i , j ~ X t - 1 s - 1 2 Q u i - q u a d r a d o   c o m   t - 1 s - 1 g . l

Lembrando que t   e   s representam os números de linha e colunas respectivamente, e 0 i , j são os valores obtidos em cada célula, eles são dados na tabela no enunciado. Por último, o E i , j representa os valores ESPERADOS para cada célula; sendo que precisamos obter esses valores.

E podemos fazer isso da seguinte forma:

E i , j = ( T o t a l   a m o s t r a s   p o p u l a ç ã o   i ) ( T o t a l   c o l u n a   j ) T o t a l   G e r a l

Capitou o processo? Então bora lá!

Passo 2

Vamos encontrar esses valores:

E 1,1 = 100 26 + 10 + 73 + 55 100 + 100 + 100 + 100 = 41

E 1,2 = 100 173 400 ≅ 43,25

E assim por diante... Repare que como o tamanho da amostra em cada subpopulação é igual (100), os valores se repetirão 4 vezes, basta então calcular para a primeira linha e obteremos a mesma coisa para as linhas restantes.

E 1,3 = 100 45 400 ≅ 11,25

E

E 1,4 = 100 18 400 ≅ 4,50

Agora, vou colocar esses valores numa tabelinha:

Assim não dá pra errar né?! Pior que dá... repara uma coisinha, quando obtemos um valor esperado menor do que 5, devemos agrupar uma categoria. Tendeu nada né?

Peraí, veja só o que acontece na tabela abaixo:

Reparou? Agrupamos uma categoria pois tínhamos encontrado um valor menor do que 5 para ela.

Passo 3

E isso também ocorre na tabela original, a fusão das categorias “superior e pós”, com isso devemos somar os valores dessas duas categorias. Vou colocar mais uma tabela, mostrando como fica a original depois da fusão:

Finalmente podemos realizar o teste:

q o b s = 26 - 41 2 41 + 65 - 43,25 2 43,25 + 9 - 15,75 2 15,75 + … + 40 - 43,25 2 43,25 + 5 - 15,75 2 15,75 =

q o b s ≅ 148,72

O exercício pede pra usar nível descritivo, então vamos relembrar que diaxo é isso; nada mais é do que a chance de termos um valor mais extremo ainda do que aquele ali que acabamos de achar.

Ou seja,

P X 2 ≥ 148,72 = α * =   ? ?

Cara, simplesmente tabela nenhuma vai ter esse valor, porque a chance de ter ele é muitíssima demais pequena, é quase 0.

Mas para dar uma resposta bonitinha, vamos responder assim:

α * ≪ ≪ 0,1 %

É muito pequena mesmo, com isso por definição, quando o nível descritivo é pequeno devemos rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Podemos concluir que existem evidencias de que o grau de instrução não seja homogêneo nas cidades.

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