Enunciado

Um levantamento inicial sugere que o número de filhos depende da renda familiar dos pais. Para confirmar essa suspeita, amostras de famílias foram coletadas, em cada classe social, e o número de filhos em cada família foi contado. Verifique através de um teste de hipóteses se a variável tem comportamento diferente em cada uma das subpopulações estudadas (use nível de significância de 1%).

Passo 1

Eaai pessoa, vamos pra mais um Teste de homogeneidade, dessa vez o enunciado deixa bem claro que temos uma únical variável:

X = n ú m e r o   d e   f i l h o s   e m   c a d a   f a m i l i a .

Sendo estudada em diferentes subpopulações.

Portanto, vamos realiar o teste aproximando pela distribuição Qui-quadrado, dessa forma:

Q 2 = ∑ i = 1 t ∑ j = 1 s o i , j - E i , j 2 E i , j ~ X t - 1 s - 1 2 Q u i - q u a d r a d o   c o m   t - 1 s - 1 g . l

Lembrando, que o i , j   são os valores observados em cada célula na tabela do enunciado; enquanto que t   e   s são as linhas (subpopulações) e colunas respectivamente.

E como de praxe vamos ter de obter os valores esperados em cada célula E i , j , lembra como faz?

E i , j = ( T o t a l   a m o s t r a s   p o p u l a ç ã o   i ) ( T o t a l   c o l u n a   j ) T o t a l   G e r a l

Perceba que o total de amostras em cada população é nada mais que a soma da linha.

Passo 2

Antes de calcular, vamos as nossas hipóteses:

H 0 : o   n ú m e r o   d e   f i l h o s   p o r   f a m í l i a   é   h o m o g ê n e o   e m   t o d a s   a s   c l a s s e s

Contra:

H 1 : o   n ú m e r o   d e   f i l h o s   e m   c a d a   f a m í l i a   n ã o   é   h o m o g ê n e o   n a s   c l a s s e s .

Tá comigo? Então bora calcular issodaê:

E 1,1 = 15 + 27 + 40 + 64 + 54 15 + 25 + 10 360 ≅ 27,78

E assim por diante até:

E 3,5 = 10 + 25 + 15 + 8 + 2 54 + 8 + 2 360 ≅ 10,67

Depois de calcular tudo, montei a tabelinha a seguir para ficar mais fácil visualizar:

Bateu tudo aí?? Olha só, toma cuidado com as aproximações, a soma desses valores tem de ser o mais próximo possível da soma dos valores dados, ou seja, a soma total dessa tabela tem que ser igual a 360 (ou o mais perto possível).

Agora, antes de relizar o teste com a qui-quadrado, vamos definir a nossa região crítica:

R C = q o b s ∈ R   q o b s ≥ q α }  

O enunciado deu pra gente o α = 1 % , portanto precisamos buscar um q 0,01 tal que:

P X 2 ≥ q 0,01 = 0,01 = α

Então a gente vai precisar ir na tabela de distribuição qui-quadrado na coluna de 1% e na linha de 3 - 1 5 - 1 = 8 graus de liberdade.

Portanto, encontramos q 0,01 = 20,090 , e aí nossa RC:

R C = q o b s ≥ 20,090

Passo 3

Agora, finalmente podemos realizar o teste:

q o b s = 15 - 27,78 2 27,78 + 27 - 43,89 2 43,89 + … + 8 - 14 2 14 + 2 - 10,67 2 10,67 ≅ 71,87

Claramente, q o b s pertence e muito à região crítica, então devemos rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Concluindo, existem evidências de que o número de filhos por família não é homogêneo nas classes.

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