Enunciado

Um determinado sistema pode ter três tipos diferentes de defeitos. Represente por A i   i = 1,2 , 3 o evento em que o sistema apresenta um defeito do tipo i. Suponha que

P ( A 1 ) = 0,12 ;   P ( A 2 ) = 0,07 ;   P ( A 3 ) = 0,05

P ( A 1 ∪ A 2 ) = 0,13 ; P ( A 1 ∪ A 3 ) = 0,14

P ( A 2 ∪ A 3 ) = 0 , 10 ;   P ( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ) = 0,01

a) Qual é a probabilidade de o sistema não ter um defeito do tipo 1?

b) Qual é a probabilidade de o sistema ter defeitos dos tipos 1 e 2?

c) Qual é a probabilidade de o sistema ter defeitos dos tipos 1 e 2, mas não do tipo 3?

d) Qual é a probabilidade de o sistema ter no máximo dois desses defeitos?

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Vamos resolver o item a)

Nesse item queremos que o sistema não tenha defeito do tipo 1, logo estamos buscando o complementar de A 1 .

Show, então vamos calcular:

P ( A 1 ' ) = 1 - P ( A 1 ) = 1 - 0.12 = 0.88

Passo 2

Show! Vamos adiante. Resolvendo o item b)

Nesse item queremos que o sistema tenha defeitos dos tipos 1 e 2.

Ou seja, queremos que o sistema tenha as duas falhas, logo estamos interessados em

P ( A 1 ∩ A 2 )

Usando as relações e teoremas, chegamos em

P ( A 1 ∩ A 2 ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) - P ( A 1 ∪ A 2 ) = 0.12 + 0.0 7 - 0.13 = 0.06

Passo 3

Agora, vamos ao item c)

Queremos que o sistema tenha defeitos do tipo 1 e 2, mas não do tipo 3.

Logo, estamos interessados em P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ' ) .

Usando as manipulações possíveis, podemos chegar em:

P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ' ) = P ( A 1 ∩ A 2 ) - P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 )

O que facilita nossas vidas, pois temos essas informações, assim:

P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ' ) = P ( A 1 ∩ A 2 ) - P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = 0.06 - 0.01 = 0.05

Passo 4

Por fim, vamos ao item d)

Nesse item estamos interessados no caso em que o sistema tenha no máximo dois defeitos, então vamos estudar esse caso.

Podemos usar o complementar para resolver esse exercício, da seguinte forma:

P n o   m á x i m o   d o i s   d e f e i t o s = 1 - P t r ê s   d e f e i t o s = 1 - P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 )

Numericamente, ficamos com:

P n o   m á x i m o   d o i s   d e f e i t o s = 1 - P t r ê s   d e f e i t o s = 1 - 0.01 = 0.99

Resposta

a) P ( A 1 ' ) = 1 - P ( A 1 ) = 0.88

b) P ( A 1 ∩ A 2 ) = 0.06

c) P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ' ) = 0.05

d) P n o   m á x i m o   d o i s   d e f e i t o s = 0.99

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