Enunciado

Uma caixa em um depósito contém quatro lâmpadas de 40W, cinco de 60W e seis de 75W. Suponha que três lâmpadas sejam selecionadas aleatoriamente.

a) Qual a probabilidade de que exatamente duas das lâmpadas selecionadas sejam de 75W?

b) Qual a probabilidade de que as três lâmpadas selecionadas tenham a mesma potência?

c) Qual a probabilidade de que uma lâmpada de cada tipo seja selecionada?

d) Suponha que as lâmpadas sejam selecionadas uma a uma até que seja encontrada uma de 75W. Qual a probabilidade de que seja necessário examinar pelo menos seis lâmpadas?

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Vamos de cara resolver o item a)

Nesse item queremos estudar a probabilidade que exatamente duas lâmpadas sejam de 75W. Vamos fazer.

Para isso, usaremos combinação, vamos combinar duas lâmpadas de 75W dentre as 6 possíveis, e a ultima escolha restante iremos combinar as outras 9.

E relacionamos esse valor com os casos totais, que é uma combinação de 3 lâmpadas, entre 15 possíveis

Numericamente ficaremos com:

P 2   l â m p a d a s   75 W = 6 2 9 1 15 3 = ( 15 ) ( 9 ) 455 = 0.2967

Passo 2

Show! Vamos adiante. Resolvendo o item b)

Nesse item queremos a probabilidade de que as três lâmpadas selecionadas tenham a mesma potência.

Para isso, teremos três lâmpadas de 40W ou 3 lâmpadas de 60W ou 3 lâmpadas de 75W.

Ou seja, teremos três possíveis combinações interligadas pela conjunção “ou”.

Numericamente, ficamos com:

P t o d a s   a s   3   m e s m a   p o t ê n c i a = 4 3 + 5 3 + 6 3 15 3 = 4 + 10 + 2 0 455 = 0.0747

Passo 3

Agora, vamos ao item c)

Nesse caso queremos uma lâmpada de cada potência. Vamos estudar a probabilidade de isso acontecer. Vamos relacionar os casos favoráveis com os casos totais.

Assim, numericamente ficaremos com:

P 1   d e   c a d a   t i p o = 4 1 5 1 6 1 15 3 = 120 455 = 0.2637

Passo 4

Por fim, vamos ao item d)

Para examinar exatamente uma lâmpada, escolhemos de cara a de 75W (6 maneiras de fazer isso). Para examinar duas, devemos escolher primeiro outra potência, depois de uma de 75W (9x6 maneiras de fazer isso). Seguindo este padrão para examinar 3 lâmpadas teremos 9x8x6 maneiras; para quatro 9x8x7x6; para 5, 9x8x7x6x6.

Assim, podemos chegar em:

P e x a m i n a r   p e l o   m e n o s   6 = 1 - P e x a m i n a r   5   o u   m e n o s

P e x a m i n a r   p e l o   m e n o s   6 = 1 - P   e x a m i n a r   1   o u   2   o u   3   o u   4   o u   5

P e x a m i n a r   p e l o   m e n o s   6 = 1 - [ P u m a + P d u a s + … + P c i n c o ]

Numericamente:

1 - 6 15 + ( 9 ) ( 6 ) ( 15 ) ( 14 ) + ( 9 ) ( 8 ) ( 6 ) ( 15 ) ( 14 ) ( 13 ) + ( 9 ) ( 8 ) ( 7 ) ( 6 ) ( 15 ) ( 14 ) ( 13 ) ( 12 ) + ( 9 ) ( 8 ) ( 7 ) ( 6 ) ( 6 ) 15 ( 14 ) ( 13 ) ( 12 ) ( 11 )

Logo,

P e x a m i n a r   p e l o   m e n o s   6 = 1 - 0.4 + 0.2571 + 0.1582 + 0.0923 + 0.0503

P e x a m i n a r   p e l o   m e n o s   6 = 1 - 0.9579 = 0.0421

Resposta

a) P 2   l â m p a d a s   75 W = 0.2967

b) P t o d a s   a s   3   m e s m a   p o t ê n c i a = 0.0747

c) P 1   d e   c a d a   t i p o = 0.2637

d) P e x a m i n a r   p e l o   m e n o s   6 = 0.0421

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