Enunciado

Um determinado tipo de lanterna é vendido com quatro baterias incluídas. Uma amostra aleatória de 150 lanternas é obtida, e o número de baterias com defeito em cada uma é determinado, resultando nos seguintes dados:

Seja X o número de baterias com defeito em uma amostra selecionada aleatoriamente de lanternas. Teste a hipótese nula de que a distribuiçāo de X é B i n ⁡ ( 4 , θ ) . Ou seja, com p i = P ( i defeitos), teste

H 0 : p i = 4   i   θ i ( 1 - θ ) 4 - i   i = 0,1 , 2,3 , 4

[Sugestão: Para obter o estimador de máxima verossimilhança de θ , escreva a funçāo de verossimilhança (a funçāo a ser maximizada) como θ ' ' ( 1 - θ ) ' , onde os expoentes u e v sāo funções lineares das contagens de células. Entāo tome o log natural, diferencie em relação a θ , iguale o resultado a 0 e resolva para θ ˆ .]

Passo 1

A parte da probabilidade envolvendo θ é ( 1 - θ ) 4 n 1 ⋅ θ ( 1 - θ ) 3 n 2 ⋅ θ 2 ( 1 - θ ) 2 n 3 . θ 3 ( 1 - θ ) n 4 ⋅ θ 4 n 5 = θ n 2 + 2 n 3 + 3 n 4 + 4 n 5 ( 1 - θ ) 4 n 1 + 3 n 2 + 2 n 3 + n 4 = θ 233 ( 1 - θ ) 367 , então l n ⁡ ( probabilidade ) = 233 l n ⁡ θ + 367 l n ⁡ ( 1 - θ ) . Diferenciando e igualando a 0 produz θ ˆ = 233 600 = . 3883 , e ( 1 - θ ˆ ) = . 6117 [note que o expoente em θ é simplesmente o número total de sucessos (defeituosos aqui) no n=4( 150)=600 tentativas.] Substituindo este θ ' na fórmula para p i produz probabilidades celulares estimadas 0,1400, 0,3555, 0,3385, 0,1433 e 0,0227.

A multiplicação por 150 produz as contagens de células esperadas estimadas são 21,00,53,33,50,78,21,50 e 3,41. a última contagem de células esperada estimada é menor que 5, então combinamos as duas últimas categorias em uma única (≥3 defeituosos), resultando em contagens estimadas 21,00,53,33,50,78, 24,91, contagens observadas

χ 2 = 1.62 . Com d.f. = 4 - 1 - 1 = 2 , uma vez que 1.62 < χ . 10,2 2 = 4.605 , o p -value > . 10 , e não rejeitamos H o . Os dados sugerem que a distribuição binomial indicada é plausível

Resposta

Os dados sugerem que a distribuição binomial indicada é plausível

Espero que tenham aprendido com essa questão, até a próxima !

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