Enunciado

O artigo "Feeding Ecology of the Red-Eyed Vireo and Associated Foliage-Gleaning Birds") (Ecological Monographs, 1971, p. 129-152 ) apresenta os dados associados à variável X = o número de saltos antes do primeiro vôo e precedido de outro vôo. O autor então propôs e ajustou uma distribuiçāo de probabilidade geométrica [ p ( x ) = P ( X = x ) = p x - 1 ⋅ q para x = 1,2 , ... em que q = 1 - p ] , aos dados. O tamanho total da amostra foi n = 130 .

a. A função de verossimilhança é p x - 1 ⋅ q ⋯ ⋯ p x - 1 ⋅ q = p Σ x - n ⋅ q n . Mostre que o estimador de máxima verossimilhança de p é dado por p ˆ = ∑ x i - n / ∑ x i , e calcule p ˆ para os dados fornecidos.

b. Estime as contagens de células esperadas utilizando p ˆ do item (a) [contagens de células esperadas = n ⋅ ( p ˆ ) x - 1 ⋅ q ˆ para x = 1,2 , … ] , e teste o ajuste do modelo utilizando um teste χ 2 combinando as contagens para x = 7,8 , … , e 12 dentro de uma célula ( x ≥ 7 ) .

Passo 1

E aí pessoal partiu para mais uma questão de (probabilidade)? Abaixo começaremos trazendo algumas informações do enunciado:

A função de verossimilhança é p x - 1 ⋅ q ⋯ ⋯ p x - 1 ⋅ q = p Σ x - n ⋅ q n . Mostre que o estimador de máxima verossimilhança de p é dado por p ˆ = ∑ x i - n / ∑ x i , e calcule p ˆ para os dados fornecidos.

a. Desejamos maximizar p Σ x i - n ( 1 - p ) n , or equivalentemente Σ x i - n l n ⁡ p + n l n ⁡ ( 1 - p ) . Equacionando d d p para 0 rende Σ x i - n p = n ( 1 - p ) , de onde p = Σ x i - n Σ x i . Para dados fornecidos, Σ x i = ( 1 ) ( 1 ) + ( 2 ) ( 31 ) + … + ( 12 ) ( 1 ) = 363 , então p ˆ = ( 363 - 130 ) 363 = . 642 , e q ˆ = . 358 .

Passo 2

Estime as contagens de células esperadas utilizando p ˆ do item (a) [contagens de células esperadas = n ⋅ ( p ˆ ) x - 1 ⋅ q ˆ para x = 1,2 , … ] , e teste o ajuste do modelo utilizando um teste χ 2 combinando as contagens para x = 7,8 , … , e 12 dentro de uma célula ( x ≥ 7 ) .

b. Cada contagem de células esperada estimada é p vezes a contagem anterior, dando n q ˆ = 130 ( . 358 ) = 46.54 , n q ˆ p ˆ = 46.54 ( . 642 ) = 29.88,19.18,12.31,17.91,5.08 , 3.26 , … . Agrupar todos os valores ≥7 em uma única categoria fornece 7 células com contagens esperadas estimada 46.54,29.88,19.18,12.31,7.91,5.08 (soma = 120.9 ), e 130 - 120.9 = 9.1. As contagens observadas correspondentes são 48,31,20,9 , 6,5 , e 11 , dando χ 2 = 1.87 . Com k = 7 e m = 1 ( p foi estimado), da (14.15) precisamos χ . 10,5 2 = 9.236 . Uma vez que 1.87 não é ≥ 9 . 236 , não rejeitamos H o .

Resposta

a . 358 .

b. Uma vez que 1.87 não é ≥ 9.236 , não rejeitamos H o .

Espero que tenham aprendido com essa questão, até a próxima !

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