Enunciado

Determine a covariância e a correlação para a função densidade de probabilidade conjunta para a faixa de 0 < x e 0 < y .

Passo 1

A definição da covariância entre as variáveis ​​aleatórias X e Y é

σ X Y = c o v ( X , Y ) = E [ ( X - E ( X ) ) ( Y - E ( Y ) ) ] = E ( X Y ) - E ( X ) E ( Y )

A correlação entre as variáveis ​​aleatórias X e Y é definida como:

ρ X Y = c o v ( X , Y ) V ( X ) V ( Y )

onde V ( X ) é a variância da variável aleatória X definida como:

V ( X ) = E ( X 2 ) - E ( X ) 2

Precisamos calcular E ( X ) ,   E ( Y ) ,   E ( E X ) ,   E ( X 2 ) ,   E ( Y 2 ) tem maneiras diferentes de fazer isso quando temos a função de densidade conjunta.

Uma vez que as variáveis ​​aleatórias que recebemos são contínuas, porque nós temos função de densidade conjunta que é uma função contínua, calculamos a expectativa como:

E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f X ( x ) d x

onde denotamos f X ( x ) como função de densidade marginal da variável aleatória X e f Y ( y ) como função de densidade marginal da variável aleatória Y.

Calculamos as funções de densidade marginal como:

f X ( x ) = ∫ - ∞ ∞ f X Y ( x , y ) d y

f Y ( y ) = ∫ - ∞ ∞ f X Y ( x , y ) d x

Passo 2

Conhecemos a função de densidade conjunta:

f X Y ( x , y ) = 0 ,   e m   o u t r o   c a s o .

f X Y ( x , y ) = e - x - y ,   x > 0   ,   y > 0 .

O que significa que podemos calcular tudo o que precisamos. Começando para x > 0 :

f X ( x ) = e - x

Finalmente,

f X ( x ) = 0 ,   x ≤ 0

f X ( x ) = e - x ,   x > 0

Analogamente,

f Y ( y ) = 0 ,   y ≤ 0

f Y ( y ) = e - y , y > 0

onde, obviamente, nós apenas substituímos x com y acima.

Vamos calcular as expectativas agora.

E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f X ( x ) d x = 1

Usando integração por partes:

E ( Y ) = 1

Passo 3

Para calcular E ( X 2 ) observe que X 2 é uma variável aleatória contínua e que pode ser escrito como g ( X ) = X 2 , sabemos que

E ( g ( X ) ) = ∫ - ∞ ∞ g ( x ) f X ( x ) d x

Então,

E ( X 2 ) = 2

De modo similar:

E ( Y 2 ) = 2

Para calcular E ( X Y ) , observe que X Y é uma variável aleatória contínua e que pode ser escrito como g ( X , Y ) = X Y nós sabemos que:

E ( g ( X , Y ) ) = ∫ - ∞ ∞ g ( x , y ) f X Y ( x , y ) d x d y

Passo 4

Usando isso, temos:

E ( X Y ) = 1

As variâncias serão,

V ( X ) = 1

V ( Y ) = = 1

Finalmente, o seguinte é válido:

σ X Y = c o v ( X , Y ) = E ( X Y ) - E ( X ) E ( Y ) = 1 - 1.1 = 0

e,

ρ X Y = 0

Não tivemos que calcular as variâncias, mas normalmente você terá que fazer.

Uma vez que o seguinte é válido:

f X Y ( x , y ) = e - x - y = f X ( x ) f Y ( y ) ,   x > 0 ,   y > 0

f X Y ( x , y ) = 0 = f X ( x ) f Y ( y ) ,   e m   o u t r o   c a s o .

então, para cada x , y ∈ f X Y ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) , duas variáveis ​​aleatórias X e Y são independentes, o que implica que a covariância e a correlação são 0. Isso é válido porque:

c o v ( X , Y ) = E ( X Y ) - E ( X ) E ( Y ) = 0

onde E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) é válido se X e Y forem independentes. Existem mais soluções para este problema.

Resposta

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