1.

Seja ( X , Y ) um vetor bivariado de v.a.’s contínuas com a seguinte função:

f x , y = k . y . e - y ² 3 x   c o m   y ≥ 0   e   0 ≤ x ≤ 1

Calcule o valor da constante k para que f ( x , y ) seja uma função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y .

Resolução
2.

Suponha p e q dois valores de probabilidade conhecidos. Assumindo duas v.a.’s discretas com distribuição conjunta f x , y = c . p x . q y , para x ∈ ( 1,2 , … ) , e Y ∈ ( 0,1 ) . Mostre como encontrar:

  1. O valor de c , em função de p e q , para que f seja uma distribuição conjunta. E escreva a função conjunta.
  2. A marginal de X   e de Y e indique qual o nome (modelo) destas distribuições.
  3. Podemos afirmar que X e Y são independentes? Justifique sua resposta.
Resolução
3.

Sejam X e Y v.a.’s contínuas com densidade conjunta:

f x , y = 1 4 . c . x ² . y ² . e - x 3 - y 3   ,     p a r a   x ≥ 0 ,   y ≥ 0

  1. Encontre a constante " c " que faz desta expressão uma densidade.
  2. Encontre a densidade marginal de X e de Y .
Resolução
4.

f x , y = 1 k 1 4 x 2 3 y > 0   ,       q u a l q u e r   q u e   s e j a   x = 3,4 , … ,   s e ,   s o m e n t e   s e   k > 0

                                                                                                              q u a l q u e r   q u e   s e j a   y = 3,4 , … ,   s e ,   s o m e n t e   s e   k > 0

  1. Determine a constante " k " para que f x , y seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y .
  2. Encontre a densidade marginal de X e de Y .
  3. Encontre a densidade condicional de X dado Y = y .
  4. X e Y são independentes? Por quê? Justifique.
Resolução
5.

Sejam X e Y v.a. contínuas com densidade conjunta:

f x , y = - 3 4 y + 2 x y       ,     o n d e   0 ≤ x ≤ 2   e   0 ≤ y ≤ 1

Dados:

Marginal de X : f x = x - 1 2

Marginal de Y : f y = 4 y - 3 2 y

Pede-se:

  1. Densidade condicional de Y dado X = x .
  2. Média condicional de Y   dado X = x , e calcule o valor quando x = 1,5 .
Resolução
6.

Considere a seguinte densidade conjunta

f x , y = 1 9 . e - y 3     ,     x > 0 , y > x

  1. Ache a densidade marginal de X .
  2. Ache a densidade marginal de Y .
  3. Calcule Pr ⁡ X > 1 Y < 4 .
Resolução
7.

Se a função de probabilidade da variável aleatória contínua ( X , Y ) é dada por:

f x , y = 2 3   k . x . y     ,     o n d e   0 ≤ y ≤ x ≤ 1

  1. Determine a constante k para que f ( x , y ) seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y , mostre a função f ( x , y ) ?
  2. Encontre a densidade marginal de X e a densidade marginal de Y .
  3. Encontre a densidade condicional de X dado Y = y .
Resolução
8.

Sejam X e Y v.a.’s discretas com densidade conjunta:

f x , y = 1 k 3 5 x 2 3 y ,     o n d e :       x = 3,4 , 5 , …         y = 1,2 , 3 , …

Pede-se:

  1. Determine a constante k para que f ( x , y ) seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y , mostre a função f ( x , y ) ?
  2. Encontre a densidade marginal de X e Y .
  3. X e Y são independentes? Por que? Justifique.
Resolução
9.

f x , y = 1 k 1 3 x 2 3 y > 0   ,       q u a l q u e r   q u e   s e j a   x = 2 , 3 , 4 ,   … ,   s e ,   s o m e n t e   s e   k > 0

                                                                                                              q u a l q u e r   q u e   s e j a   y = 2,3 , 4 , … ,   s e ,   s o m e n t e   s e   k > 0

  1. Determine a constante " k " para que f x , y seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y .
  2. Encontre a densidade marginal de X e de Y .
  3. X e Y são independentes? Por quê? Justifique.
Resolução
10.

f x , y = 1 k 1 4 x 2 3 y > 0   ,       q u a l q u e r   q u e   s e j a   x = 3,4 , … ,   s e ,   s o m e n t e   s e   k > 0

                                                                                                              q u a l q u e r   q u e   s e j a   y = 3,4 , … ,   s e ,   s o m e n t e   s e   k > 0

  1. Determine a constante " k " para que f x , y seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y .
  2. Encontre a densidade marginal de X e de Y .
  3. Encontre a densidade condicional de X dado Y = y .
  4. X e Y são independentes? Por quê? Justifique.
Resolução
11.

Sejam X e Y v.a.’s contínuas com densidade conjunta:

f x , y = 1 4 . c . x ² . y ² . e - x 3 - y 3   ,     p a r a   x ≥ 0 ,   y ≥ 0

  1. Encontre a constante " c " que faz desta expressão uma densidade.
  2. Encontre a densidade marginal de X e de Y .
  3. Encontre a densidade condicional de Y dado X = x .
Resolução
12.

a) Suponha que X 1 e X 2 sejam variáveis aleatórias contínuas, prove que E E X 2 X 1 ] = E X 2 = μ 2 .

Observação: podemos dizer que E X 2 X 1 é uma variável aleatória, que é uma função de X 1 .

b) Seja X 1 , X 2 , ..., X n uma sequência de variáveis aleatórias independentes com distribuição N μ ,   σ 2 . Se Y = X 1 + X 2 + … + X n , qual a distribuição de Y e de Y / n ?

Resolução
13.

Admite-se que cada pneu dianteiro de um determinado tipo de veículo deve ter a pressão de 26 psi. Suponha que a pressão real em cada pneu seja uma variável aleatória X para o pneu direito e Y para o pneu esquerdo, com a seguinte função de densidade conjunta:

f x ,   y = 3 380000 x 2 + y 2 ,         20 ≤ x ≤ 30 ,   20 ≤ y ≤ 30 0 ,                                         c a s o   c o n t r a r i o

Pede-se:

a) Qual é a probabilidade de os dois pneus estarem com pressão inferior ao ideal?

b) Determine a média condicional X dado Y = y .

Resolução
14.

Seja “ X ” e “ Y ” duas Variáveis aleatórias discretas cuja função de probabilidade conjunta é expressa por:

f x , y = 1 k 1 4 x 2 3 y   ,     p a r a   x = 3,4 , 5 …       e   y = 3,4 , 5 …

a) Determine a constante “ k ” para que f ( x , y ) seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y .

b) Encontre a densidade condicional de X dado Y = y .

Resolução
15.

Seja ( X , Y ) variável aleatória contínua com a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta:

f x , y = 6 x ,     0 < x < y < 1 0 ,                 c a s o   c o n t r á r i o

Pede-se:

  1. Calcular o Coeficiente de Correlação ρ ( X , Y ) .
  2. Calcular a variância condicional de Y dado X = x .
Resolução
16.

Seja ( X , Y ) um vetor bivariado de v.a.’s contínuas com a seguinte função:

f x , y = k . y . e - y ² 3 x   c o m   y ≥ 0   e   0 ≤ x ≤ 1

Calcule o valor da constante k para que f ( x , y ) seja uma função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y .

Resolução
17.

Sejam X e Y e v.a.’s contínuas com densidade conjunta expressa por:

f x , y = 3 x ² y 3 ,       p a r a   0 ≤ x ≤ y ≤ 1

Pede-se:

  1. Densidade marginal de X e Y .
  2. X e Y são independentes? Por que? Justifique.
Resolução
18.

Suponha p e q dois valores de probabilidade conhecidos. Assumindo duas v.a.’s discretas com função de probabilidade conjunta f x , y = c . p x . q y , para x ∈ { 2,3 , … } , e y ∈ { 0,1 , 2 } .

Pede-se:

  1. Calcular o valor da constante “ c " e apresentar a função de probabilidade conjunta em termos de p e q .
  2. A função de probabilidade condicional de Y dado X = x .
Resolução

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