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Determine a função densidade de probabilidade para cada uma das seguintes funções de distribuição cumulativa.

F ( x ) = 0 ,   x < 0

F ( x ) = 0.2 x ,   0 ≤ x < 4

F ( x ) = 0.04 x + 0.64 ,   4 ≤ x < 9

F ( x ) = 1 ,   9 ≤ x

Passo 1

A função de distribuição cumulativa é dada:

F ( x ) = 0 ,   x < 0

F ( x ) = 0.2 x ,   0 ≤ x < 4

F ( x ) = 0.04 x + 0.64 ,   4 ≤ x < 9

F ( x ) = 1 ,   x ≥ 9

A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua pode ser determinada a partir de uma diferenciação da função de distribuição cumulativa. Lembre-se de que o teorema fundamental de cálculo estabelece que:

d d x ∫ - ∞ x f ( u ) d u = f ( x )

Então, dado F ( x ) :

f ( x ) = d F ( x ) d x

desde que a derivada exista.

Então, a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória contínua X é :

F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ - ∞ x f ( u ) d u para - ∞ < x < ∞

Passo 2

Fazendo a derivada, temos:

f ( x ) = d d x ( 0 ) = 0 ,   x < 0

f ( x ) = d d x ( 0.2 x ) = 0.2 ,   0 ≤ x < 4

f ( x ) = d d x ( 0.04 x + 0.64 ) = 0.04 ,   4 ≤   x < 9

f ( x ) = d d x ( 1 ) = 0 ,     x ≥ 9

Resposta

f ( x ) = 0 ,   x < 0

f ( x ) = 0.2 ,   0 ≤ x < 4

f ( x ) = 0.04 ,   4 ≤ x < 9

f ( x ) = 0 ,   x ≥ 9

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