Enunciado

Determine o valor de c que faz a função ser uma função de probabilidades conjuntas em nove pontos com x = 1,2,3 e y = 1, 2,3.

Determine o seguinte:

  1. P ( X = 1 ,   Y < 4 )
  2. P ( X = 1 )
  3. P ( Y = 2 )
  4. P ( X < 2 ,   Y < 2 )
  5. E ( X ) ,   E ( Y ) ,   V ( X )   e   V ( Y )
  6. A distribuição de probabilidades marginais da variável aleatória X.
  7. A distribuição de probabilidades condicionais de Y, dado que X = 1.
  8. A distribuição de probabilidades condicionais de X, dado que Y = 2.
  9. E ( Y | X = 1 )
  10. X e Y são independentes?

Passo 1

Recebemos uma função de massa de probabilidade conjunta f X Y ( x , y ) = c ( x + y ) para x , y ∈ { 1,2 , 3 } . É sempre um bom começo escrever em uma tabela:

Primeiro, precisamos determinar o valor da constante c. A massa de probabilidade conjunta

função das variáveis ​​aleatórias discretas X e Y satisfaz:

∑ R x ∑ R y f X Y ( x , y ) = 1

onde R x e R y são conjuntos de intervalos de variáveis ​​aleatórias discretas, respectivamente, X e Y.

Usando isso, encontramos c da seguinte forma:

c ( 2 + 3 + 4 + 3 + 4 + 5 + 4 + 5 + 6 ) = 1 ⇒ c = 1 36

A tabela agora se torna:

Passo 2

Letra a:

Para encontrar o P (X = 1, Y

P ( X = 1 ,   y < 4 ) = P ( X = 1 ,   Y = 1 ) + P ( X = 1 , Y = 2 ) + P ( X = 1 , Y = 3 ) = 9 36 = 1 4

Passo 3

Letra b:

Da mesma forma que acima, Y

P ( X = 1 ) = 1 4

Passo 4

Letra c:

Temos:

P ( Y = 2 ) = P ( Y = 2 ,   ∪ i = 1,2 , 3 { X = i } =

= P ( Y = 2 ,   X = 1 ) + P ( Y = 2 ,   X = 2 ) + P ( Y = 2 , X = 3 ) =

12 36

* a união é quase certa, embora possamos sempre cruzar com ela.

Passo 5

Letra d:

Isso só é possível quando X = 1 e Y = 1 , então:

P ( X < 2 ,   Y < 2 ) = P ( X = 1 ,   Y = 1 ) = 2 36

Passo 6

Letra e:

Antes de começarmos a encontrar os valores E ( X ) ,   E ( Y ) ,   V ( X ) e V ( Y ) lembre-se das definições:

A expectativa matemática da variável aleatória discreta X é a soma do produto final de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( X = x ) :

E ( X ) = ∑ R x x P ( X = x )

V ( X ) é a variância da variável aleatória X definida como:

V ( X ) = E ( X - E ( X ) ) 2 = E ( X 2 ) - ( E ( X ) ) 2

Analogamente como em C, encontramos funções de massa marginal para X e Y:

P ( X = 1 ) = 9 36 ;   P ( Y = 1 ) = 9 36

P ( X = 2 ) = 12 36 ;   P ( Y = 2 ) = 12 36

P ( X = 3 ) = 15 36 ;   P ( Y = 3 ) = 15 36

A partir das definições acima, temos:

E ( X ) = 1 9 36 + 2 × 12 36 + 3 × 15 36 = 78 36 ≈ 2.17

E ( Y ) = 1 × 9 36 + 2 × 12 36 + 3 × 15 36 = 78 36 ≈ 2.17

Para calcular E ( X 2 ) observe que X 2 é uma variável aleatória discreta e que pode ser escrito como g ( X ) = X 2 nós sabemos que:

E ( g ( X ) ) = ∑ R x g ( x ) P ( X = x )

Calculando isso, temos:

E ( X 2 ) = 1 2 × 9 36 + 2 2 × 12 36 + 3 2 × 15 36 ≈ 5.33

E ( Y 2 ) = 1 2 × 9 36 + 2 2 × 12 36 + 3 2 × 15 36 ≈ 5.33

E as variações. da definição são:

V ( X ) = E ( X - E ( X ) ) 2 = E ( X 2 ) - ( E ( X ) ) 2 ≈ 5.33 - ( 2.17 ) 2 ≈ 0.62

V ( Y ) = E ( Y - ( Y ) ) 2 = E ( Y 2 ) - ( E ( Y ) ) 2 ≈ 5.33 - ( 2.17 ) 2 ≈ 0.62

Vamos ter cuidado ao arredondar os números, você pode precisar ser mais preciso!

Passo 7

Letra f:

Já calculamos a distribuição marginal de X, e é:

Passo 8

Letra g:

Quando temos função de massa conjunta e distribuição marginal de X, podemos encontrar a condição de distribuição como:

f Y | X = 1 ( y ) = f X Y ( 1 , y ) f X ( 1 )

Por exemplo:

f Y | X = 1 ( 1 ) = f X Y ( 1,1 ) f X ( 1 ) = 2 / 36 9 / 36 = 2 9

Para todo y ∈ { 1,2 , 3 } encontramos os valores e obtemos:

Y | X = 1 :

Passo 9

Letra h:

De modo semelhante temos:

f X | Y = 2 ( x ) = f X Y ( x , 2 ) f Y ( 2 )

Encontramos todas as probabilidades (veja acima!). A probabilidade de distribuição condicional de X | Y = 2 é:

X | Y = 2 :

Passo 10

Letra i:

Nós já demos a definição de expectativa da questão G:

E ( Y | X = 1 ) = 1 × 2 9 + 2 × 1 3 + 3 × 4 9 = 20 9

Passo 11

Letra j:

Aqui, precisamos verificar se as seguintes funções são iguais para todo x , y   ∈ { 1,2 , 3 } :

f X Y ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y )

Vamos pegar x = 1 e y = 1 , então temos:

f X Y ( 1,1 ) = 2 36 ;

f X ( 1 ) f Y ( 1 ) = 9 36 × 9 36

que não é igual, e logo, não são independentes.

Resposta

  1. ¼
  2. ¼
  3. 12/36
  4. 2/36
  5. E ( X ) = E ( Y ) ≈ 2.17
  6. V ( X ) = V ( Y ) ≈ 0.62

  7. Ver resolução
  8. Ver resolução
  9. Ver resolução
  10. 20/9
  11. Eles não são independentes.
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