Exercícios de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Discretas - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 9

Quando os consumidores abastecem seus carros em determinado posto de gasolina situado beira de uma estrada, eles sempre aproveitam para fazer também uma refeição no restaurante self-service desse posto. Cada vez que isso acontece:

(1) O carro só é abastecido com um tipo de combustível, a saber, só com gasolina ou só com álcool.

(2) 70% dos carros usam gasolina e 30% usam álcool. Seja W ∼ Bernoulli(p), com p = 0,7, onde W = 1 corresponde a gasolina e W = 0 corresponde a álcool.

(3) A quantidade X de combustível em litros (de gasolina ou de álcool) colocada no tanque do veículo é Normal com média μ x = 30 e desvio padrão σ x = 10 .

(4) O preço da gasolina é     α = 4   r e a i s / l i t r o e o preço do álcool é β = 3 r e a i s / l i t r o .

(5) A quantidade Y de comida, em quilos, consumida em uma refeição no restaurante é Normal com média µY = 0,5 e desvio padrão σY = 0,2.

(6) O preço da comida no restaurante é γ = 30 reais/quilo.

(7) Há independência entre as variáveis aleatórias W, X e Y .

Então, T = [αW + β(1 − W)]X + γY é o montante dos gastos em reais, com combustível e com alimentação, durante uma parada nesse posto de um consumidor selecionado aleatoriamente. Calcule:

a)A distribuição da despesa total T, dado que o carro é abastecido com gasolina

(b) A distribuição da despesa total T, dado que o carro é abastecido com álcool.

(c) A média e o desvio padrão dessa despesa total T (sem separar pelo tipo de combustível).

(d) A probabilidade de que ele gaste ao todo no máximo 150 reais, ou seja, P r ⁡ ( T ≤ 150 ) .

Sugestão: Use o Teorema da Probabilidade Total, condicionando em W.

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