Enunciado

Na distribuição X tilde N (mu ; sigma^2) , encontre:

(b) P (|X - mu| <= sigma)

Passo 1

Mais uma vez lembrando que quando temos uma variável com distribuição normal, precisamos utilizar uma aproximação para a forma padrão dessa variável; é assim:

Z = (X - mu)/(sigma) tilde N ( 0,1 )

Quando tivermos uma probabilidade, teremos o seguinte:

P (b <= X <= c) = P ((b - mu)/(sigma) <= Z <= (c - mu)/(sigma))

Passo 2

Agora, na alternativa B, vamos ter de abrir o módulo,

|X - mu| <= sigma = - sigma <= X - mu <= sigma

E então:

(- sigma + mu) <= X <= (sigma + mu)

Isso significa que a nossa aproximação vai ser algo do tipo:

P (- sigma + mu <= X <= sigma + mu) = P (((- sigma + mu) +- mu)/(sigma) <= Z <= ((sigma + mu) - mu)/(sigma))

Logo, vamos buscar:

P (- 1 <= Z <= 1)

Se lembrarmos que o gráfico é simétrico, podemos denotar o seguinte:

P (0 <= Z <= 1) = P ( - 1 <= Z <= 0 )

Então podemos dizer que:

P (- 1 <= Z <= 1) = 2 . P ( 0 <= Z <= 1 )

Passo 3

Ou seja, só precisamos buscar na tabela de distribuição normal, o valor de P ( 0 <= Z <= 1 ) :

Portanto:

P (0 <= Z <= 1) = 0,34134

Podemos concluir:

P (- 1 <= Z <= 1) = 2 . (0,34134) = 0,6827

Resposta

(b) P (|X - mu| <= sigma) = 0,6827

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