Enunciado

Dor leve nas costas (DLC) é um problema de saúde sério em muitos ambientes industriais. O artigo "Isodynamic Evaluation of Trunk Muscles and Low-Back Pain Among Workers in a Steel Factory" (Ergonomics, 1995, p. 2107-2117) relatou os dados resumidos a seguir sobre o intervalo de movimentos laterais (graus) para uma amostra de trabalhadores sem um histórico de DLC e para outra amostra com histórico dessa doença.

Passo 1

Temos que m=28 e n=31 são tamanhos de amostra, e que X 1 ,   … ,   X m são variáveis ​​aleatórias normais independentes e identicamente distribuídas (temos que usar a suposição de normalidade para prosseguir com a construção de um intervalo de confiança) com média μ 1 e desvio padrão σ 1 , ambos desconhecidos (estes representam a amplitude de movimento lateral para pessoas sem lombalgia).

Também nos é dado que Y 1 ,   … ,   Y n são variáveis ​​aleatórias normais independentes e identicamente distribuídas (temos que usar a suposição de normalidade aqui também) com média μ 2 e desvio padrão σ 2 , ambos desconhecidos (estes representam a amplitude de movimento lateral para pessoas com lombalgia).

Além disso, X e Y são amostras independentes (portanto, todos os X i são independentes de todos os   Y j ).

Lembre-se de que um intervalo de confiança 1 - α ∙ 100 % para μ 1 - μ 2 é da forma

Onde t α 2 , v é um valor tal que a área sob a curva de densidade da distribuição t com graus de liberdade, à direita desse valor, é igual a α 2 = 0.05 .

Em primeiro lugar, os graus de liberdade ν são calculados como

Passo 2

Agora podemos usar a Tabela A.5 nas Tabelas do Apêndice para encontrar t 0.05,54 aproximadamente. Nós olhamos sob a linha rotulada com ν = 50 (já que não há linha para ν = 54 , e este é o mais próximo de 54) e a coluna rotulada com α=0.05. O valor desejado está localizado no corpo da tabela, sob essa linha e coluna, e podemos descobrir que é t 0.05,54 ≈1.676.

Passo 3

Então, substituindo todos os valores dados, X -   =   91.5 , Y -   = 88.3, S 1 = 5.5 ,   S 2 = 7.8 , m = 28 ,   n = 31 na fórmula para o intervalo de confiança de 90%, dado acima, nos dá o intervalo de confiança de 90% desejado para μ 1 - μ 2 :

= 0.278,6.124 ]

Como esse intervalo de confiança não contém o valor 0, podemos estar razoavelmente (90\%90%) certos de que o movimento lateral médio da população real é diferente para as duas condições (porque 0 não é um valor plausível para μ 1 - μ 2 ou seja, não é plausível que μ 1 = μ 2 ).

Suponha agora que queremos um intervalo de confiança de 95% para μ 1 -   μ 2 . A única coisa que muda é o quantil t α 2 ,   v , pois agora precisamos de t 0.025 ,   54 .

Ele pode ser encontrado aproximadamente usando a tabela A.5 nas Tabelas do Apêndice.

Nós olhamos sob a linha rotulada com ν = 50 (já que não há linha para ν=54, e este é o mais próximo de 54) e a coluna rotulada com α=0.025. O valor desejado é então localizado no corpo da tabela, sob essa linha e coluna, e podemos descobrir que é t 0.025 ,   54 ≈ 2.009 .

Então, substituindo todos os valores dados, X - = 91.5 , Y - = 88.3 , S 1 = 5.5 ,   S 2 = 7.8 ,   m = 28 ,   n = 31   na fórmula para o intervalo de confiança de 95%, dado acima, nos dá o intervalo de confiança de 95% μ 1 -   μ 2 :

= - 0.305 ,   6.705

Como esse intervalo de confiança agora contém o valor 0, então 0 é um candidato plausível para o valor verdadeiro de μ 1 - μ 2 , ou seja, não podemos rejeitar a possibilidade de que o movimento lateral médio da população verdadeira seja o mesmo para as duas condições.

Resposta

O intervalo de confiança de 90% é [0,276,6,124], e não contém o valor 0.

O intervalo de confiança de 95% é [−0,305,6,705] e contém o valor de 0

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