Enunciado

Duas empresas diferentes concentraram-se em oferecer serviços de televisão a cabo em uma determinada região. Seja p a proporção de todos os assinantes em potencial que favorecem a primeira empresa com relação à segunda. Considere o teste de H 0 : p = 0,5 versus H a : p ≠ 0,5 c o m base em uma amostra aleatória de 25 indivíduos. Seja X o número na amostra que favorece a primeira empresa e x o valor observado de X .

a. Qual das regiões de rejeição a seguir é mais apropriada e por quê?

R 1 = { x : x ≤ 7 ou x ≥ 18 } , R 2 = { x : x ≤ 8 } R 3 = { x : x ≥ 17 }

b. No contexto da situação deste problema, descreva quais são os erros tipo I e tipo II.

c. Qual é a distribuição de probabilidades da estatística do teste X quando H 0 for verdadeira? Use-a para calcular a probabilidade de um erro tipo I.

d. Calcule a probabilidade de um erro tipo II para a região selecionada quando p = 0,3 , novamente quando p = 0,4 , e também para p = 0,6 e p = 0,7 .

e. Usando a região selecionada, a que conclusão você chegaria se 6 dos 25 questionados favorecessem a empresa 1 ?

Passo 1

a. R 1 é mais apropriado, porque x muito grande ou muito pequeno contradiz p=.5 e suporta p≠.5.

Passo 2

b. Um erro do tipo I consiste em julgar um dos dois candidatos como favorecido em relação ao outro quando, na verdade, há uma divisão de 50-50 na população. Um erro do tipo II envolve julgar a divisão como 50-50 quando não é.

Passo 3

c. X tem uma distribuição binomial com p = 0.5 . α = P ( tipo I de erro) = P ( X ≤ 7 or X ≥ 18 quando X ∼ B i n ⁡ ( 25 , . 5 ) ) = B ( 7 ; 25 , . 5 ) + 1 - B ( 17 ; 25 , . 5 ) = . 044

Passo 4

d. β ( . 4 ) = P ( 8 ≤ X ≤ 17 quando p = . 4 ) = B ( 17 ; 25 , . 5 ) - B ( 7,25 , . 4 ) = 0.845 , e β ( . 6 ) = 0.845 também. β ( . 3 ) = B ( 17 ; 25 , . 3 ) - B ( 7 ; 25 , . 3 ) = . 488 = β ( . 7 )

Passo 5

e. x=6 está na região de rejeição R 1 ,, então H 0 é rejeitado em favor de H a .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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