Enunciado

Use o fato de

∑ t o d o s   x x - μ 2 p ( x ) ≥ ∑ x : | x - μ | ≥ k σ x - μ 2 p ( x )

para demonstrar a desigualdade de Chebyshev dada no Exercício 43.

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Mais um exercício de demonstração?

Vamos com calma novamente, vai dar tudo certo!

Passo 2

Vamos demonstrar o que nos é pedido, para isso:

Seja A = x : | x - μ | ≥ k σ . Então:

σ 2 = ∑ A x - μ 2 p ( x ) ≥ ( k σ ) 2 ∑ A p x

Opa!

Mas

∑ A p x = P X   e s t a r   e m   A = P X - μ ≥ k σ ,   e n t ã o   σ 2 ≥ k 2 σ 2 P X - μ ≥ k σ

E provamos o que queríamos, como o desejado.

Resposta

Vide demonstração.

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