Enunciado

Duas lâmpadas queimadas foram acidentalmente misturadas com seis lâmpadas boas. Se vamos testando as lâmpadas, uma por uma, até encontrar duas defeituosas, qual é a probabilidade de que a última defeituosa seja encontrada no quarto teste?

Passo 1

Vamos lá!

Temos um total de 8 lâmpadas: 6 boas (B) e 2 defeituosas (queimadas) (D).

Essas lâmpadas foram misturadas e devemos testar uma a uma até encontrar as duas deifeituosas, ou seja, podemos ter os seguintes casos:

1° caso: DD ou seja, de cara testamos as duas queimadas.

2° caso: DBD testamos a primeira, está queimada, contudo a segunda está boa e a terceira está queimada.

E assim por diante, certo?

Porém o enunciado pede a probabilidade de ocorrer um caso em particular, vejamos:

“Duas lâmpadas queimadas foram acidentalmente misturadas com seis lâmpadas boas. Se vamos testando as lâmpadas, uma por uma, até encontrar duas defeituosas, qual é a probabilidade de que a última defeituosa seja encontrada no quarto teste?”

Então, queremos o caso em que a segunda defeituosa seja encontrada no QUARTO teste, ou seja, pode ser:

D B B D ,   B D B D ,   B B D D

Passo 2

Note que neste caso, os três primeiros testes não estão determinados, contudo o último (o quarto) necessariamente precisa ser uma lâmpada queimada. Podemos dizer então que ela está FIXA na quarta posição, certo?

D     B     B     D

fixo

As posições podem variar

Percemos então que se olharmos apenas para as três primeiras retiradas, podemos fazer uma permutação entre essas lâmpadas:

Então, sabemos que seja lá qual for a probabilidade, basta multiplicarmos por três, pois temos três possibilidades desse resultado acontecer 😉.

Passo 3

Agora vamos calcular as probabilidades:

- Probabilidade da primeira lâmpada ser boa:

6 8

-Probabilidade da primeira lâmpada ser queimada:

2 8

- Probabilidade da segunda lâmpada ser boa, dado que a primeira foi boa:

5 7

- Probabilidade da segunda lâmpada ser boa, dado que a primeira foi queimada:

6 7

- Probabilidade da segunda lâmpada ser queimada, dado que a primeira foi boa:

2 7

E por aí vai... então percebemos que terá sempre essa cara:

- Probabilidade de termo 2 lâmpadas boas e 2 queimadas:

5 × 6 × 2 × 1 8 × 7 × 6 × 5 = 1 28

- Probabilidade de na quarta retirada termos a última lâmpada queimada:

3 × 1 28 = 3 28  

Resposta

3 28

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