Enunciado

Uma companhia de seguros vendeu apólices a cinco pessoas, todas da mesma idade e com boa saúde. De acordo com as tábuas atuariais, a probabilidade de que uma pessoa daquela idade esteja viva daqui a 30 anos é de 2/3. Calcular a probabilidade de que daqui a 30 anos:

(a) exatamente duas pessoas estejam vivas;

(b) todas as pessoas estejam vivas; e

(c) pelo menos três pessoas estejam vivas.

(Indique as suposições necessárias para a resolução do problema.)

Passo 1

Seja X o número de segurados vivos daqui a 30 anos. Suponha independência e que o valor 2 3 (probabilidade de cada um deles estar vivo daqui a 30 anos) permaneça por todo o período. Logo podemos supor que X ~ b 5 ; 2 3 .

Passo 2

(a) exatamente duas pessoas estejam vivas.

Uma combinação possível para que dois estejam vivos daqui a 30 anos é VVMMM, onde V indica estar viva e M que ela está morta. Pelas informações do problema temos que P V V M M M = 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 = 2 3 2 1 3 3 , porém, podemos ter também outras combinações como VMVMM com a mesma probabilidade. Podemos construir 10 dessas combinações, ou seja, as duas letras V podem combinar-se em 10 possibilidades pelas 5 posições. Esse número é representado pela combinação de 5 elementos dois a dois, ou seja, 5 2 = 5 ! 2 ! 3 ! = 10 .   Desse modo, a resposta final será

P X = 2 = 5 2 2 3 2 1 3 3 = 40 243 ≅ 0,165

Passo 3

(b) todas as pessoas estejam vivas.

P X = 5 = 5 5 2 3 5 1 3 0 = 32 243 ≅ 0,132

Passo 4

(c) pelo menos três pessoas estejam vivas.

P X ≥ 3 = P X = 3 + P X = 4 + P X = 5 = 80 243 + 80 243 + 32 243 = 192 243 ≅ 0,790

Resposta

a   ≅0,165

(b) ≅0,132

c   ≅0,790

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