Enunciado

Uma empresa, estudando como varia a procura de certo produto, em função de preço de venda, obteve as informações contidas na tabela. Com esses dados pretende-se saber:

  1. Qual a influência da redução do preço sobre o aumento de venda (valor de R);
  2. Ao preço atual de venda, a quantidade mensal absorvida pelo mercado é de 80 unidades menos que a capacidade total de produção da empresa; estimar de quanto se deve reduzir o preço de venda, para que a saída mantenha empenhada toda a produção.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

O método dos mínimos quadrados é um dos métodos utilizados para estimar os parâmetros da regressão. Onde iremos estimar os parâmetros α e β da reta da regressão, e chamaremos de a e b , respectivamente. Sendo assim:

  • Y = α + β ∙ X reta de regressão de Y sobre X ;
  • Y ^ = a + b ∙ X estimativa da reta de regressão.

O método dos mínimos quadrados fornece os valores de a e b tais que ∑ Y i - Y ^ i 2 seja mínimo. Iremos descobrir os valores de a e b pela Regra de Cramer. Para isso, iremos utilizar algumas equações:

  • Os valores médios de X i e Y i :
  • X - = ∑ X i n

    Y - = ∑ Y i n

  • As variâncias são calculadas pelas seguintes equações:
  • S X Y = ∑ ( X i ∙ Y i ) - ∑ X i ∙ ∑ Y i n

    S X X = ∑ X i 2 - ∑ X i 2 n

    S Y Y = ∑ Y i 2 - ∑ Y i 2 n

  • E as estimativas procuradas de a e b :
  • b = S X Y S X X

    a = Y - - b ∙ X -

    Passo 2

    Sendo assim, iremos iniciar nosso exercício calculando os valores de S X Y , S X X e S Y Y , para isso iremos construir a tabela:

    S X Y = 209300 - 1500 ∙ 750 5 = - 15700

    S X X = 456250 - 1500 2 5 = 6250

    S Y Y = 151948 - 750 2 5 = 39448

    Passo 3

    No item a) queremos descobrir o valor de R , e iremos utilizar a seguinte equação:

    R = S X Y S X X ∙ S Y Y = - 15700 6250 ∙ 39448

    R = - 0,9998

    Passo 4

    No item b) queremos estimar o quanto deve reduzir o preço de venda. Então vamos calcular a média de X i e Y i :

    X - = 1500 5 = 300

    Y - = 750 5 = 150

    No preço atual de venda, a quantidade mensal absorvida pelo mercado é de 80 unidades menos que a capacidade total:

    Y - = 150 - 80 = 70

  • Agora iremos encontrar a equação da reta, para isso, precisamos dos valores de a e b :

b = - 15700 6250 = - 2,512

a = 150 - - 2,512 ∙ 300 = 903,6

Y ^ = 903,6 - 2,512 ∙ X

Para Y ^ = 70 :

X = 70 - 903,6 - 2,512 = 331,85

Então:

r e d u ç ã o = 331,85 - 300 = C r $   31,85

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

  1. R = - 0,9998 ;
  2. r e d u ç ã o = C r $   31,85 .

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