Enunciado

Uma empresa fez um levantamento, mês a mês, durante os n = 12 meses de um certo ano, a respeito de seu lucro líquido mensal Y , expresso em Cr$ 100.000,00, em função de seus gastos com propaganda em televisão X 1 e em rádio X 2 , ambos expressos em Cr$ 1.000,00.

Efetuando o cálculo dos somatórios necessários à montagem da regressão obteve:

Pede-se:

  1. Dar a equação da regressão linear múltipla.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Para o caso de ter apenas duas variáveis explicativas:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2

Para encontrarmos os valores de a , b 1 e b 2 , iremos utilizar as equações:

Onde iremos precisar calcular aas médias ( Y , X 1 e X 2 ) pelas seguintes equações:

As variâncias vamos usar as equações:

E as covariâncias:

Passo 2

Então vamos para o nosso exercício. Do enunciado temos os seguintes dados:

n = 12   m e s e s

Primeiramente, vamos calcular as médias de Y , X 1 e X 2 , respectivamente:

Y - = 100 12 = 8,33

X - 1 = 111 12 = 9,25

X - 2 = 74 12 = 6,17

Agora iremos calcular as variâncias:

S 11 = 1237 - 111 2 12 = 210,25

S 22 = 500 - 74 2 12 = 43,67

S Y Y = 872 - 100 2 12 = 38,67

E as covariâncias:

S Y 1 = 954 - 100 ∙ 111 12 = 29,0

S Y 2 = 649 - 100 ∙ 74 12 = 32,3

S 21 = S 12 = 717 - 111 ∙ 74 12 = 32,5

Passo 3

No item b), já queremos a equação da regressão simples, então precisamos calcular os valores de b 2 , b 1 e a :

b 2 = 32,3 32,5 - 29,0 210,25 43,67 32,5 - 32,5 210,25 = 0,72

b 1 = 32,3 32,5 - 43,67 32,5 ∙ 0,72 = 0,03

a = 8,33 - 0,03 ∙ 9,25 - 0,72 ∙ 6,17 = 3,61

A equação da regressão linear múltipla:

Y ^ = 3,61 + 0,03 ∙ X 1 + 0,72 ∙ X 2

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

Y ^ = 3,61 + 0,03 ∙ X 1 + 0,72 ∙ X 2 .

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