Enunciado

Uma empresa local fabrica fios para telefones. O comprimento médio do fio é 52 polegadas com um desvio-padrão de 6,5 polegadas. No máximo, qual é a porcentagem de que os fios para telefone produzidos por essa empresa excedam 71,5 polegadas? Assuma que a distribuição seja simétrica em torno da média.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. O exemplo nos diz que o comprimento médio é μ = 52 e que o desvio-padrão é σ = 6,5 .

E ele nos pede para encontrar a porcentagem de fios que excedam 71,5 polegadas, logo, estamos procurando P ( X > 7 1,5 ) .

O Teorema de Chebyshev nos diz que:

P μ X - k σ X ≤ X ≤ μ X + k σ X ≥ 1 - 1 k 2

Onde μ é a média da variável X , σ é o desvio padrão e k é uma constante.

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

No exemplo dado, a variável X tem μ = 52 e σ = 6,5 . Como queremos encontrar P ( X > 7 1,5 ) , a constante k tem o seguinte valor:

μ + k σ = 7 1,5           →               6,5 k = 71,5 - 52             →             k = 3

Aplicando no teorema:

P 52 - 3 6,5 < X < 52 + 3 ( 6,5 ) ≥ 1 - 1 3 2

P 32,5 < X < 71,5 ≥ 1 - 1 9 = 8 9

Portanto, usando o fato que a distribuição é simétrica em torno da média, a probabilidade à esquerda de 32,5 e à direita de 71,5 é igual. Logo, como a probabilidade à esquerda de 71,5 é necessária, temos:

2 P X > 71,5 < 1 - 8 9 = 1 9

P X > 71,5 < 1 18

Sendo assim, a porcentagem de fios que excedem 71,5 polegadas é 1 / 18 = 5,56 % .

Resposta

5,56 %

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