Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica - Capítulo 8.Problemas - Ex. 6

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desse livro

Dois tetraedros (dados com quatro faces) com as faces numeradas de um a quatro são lançados e os números das faces voltadas para baixo são anotados. Sejam as v.a.:

X: maior dos números observados;

Y: menor dos números observados;

Z = X + Y.

(a) Construa a tabela da distribuição conjunta de X e Y.

(b) Determine as médias e as variâncias de X, Y e Z.

Passo 1

(a) Construa a tabela da distribuição conjunta de X e Y.

A primeira coisa que devemos fazer é determinar o nosso espaço amostral.

Ω = { 1,1 ; 1,2 ; 1 ,   3 ; 1 ,   4 ; 2,1 ; 2,2 ; 2,3 ; 2,4 ;

3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 4,1 ; 4,2 ; 4,3 ; 4,4 }

Passo 2

Lembrando que X: maior dos números observados e Y: menor dos números observados.

Como cada resultado é equiprovável, obtém-se

Passo 3

(b) Determine as médias e as variâncias de X, Y e Z.

Primeiro, vamos construir uma tabela com os valores de Z = X + Y ?

Estão faltando as probabilidades, né?

Vamos calcular um exemplo?

P X + Y = 3 = P X = 1 ,   Y = 2 + P X = 2 ,   Y = 1 = 0 + 2 16 = 2 16

Seguindo o mesmo raciocínio, podemos calcular as outras probabilidades. Dessa forma, podemos montar a nossa tabela da distribuição de Z = X + Y .

Passo 4

Sabemos que

E X = ∑ i = 1 n x i . P ( X = x i )

Portanto

E X = 1 16 + 6 16 + 15 16 + 28 16 = 50 16 ≅ 3,125

E Y = 7 16 + 10 16 + 9 16 + 4 16 = 30 16 = 1,875

E Z = 25 8 + 15 8 = 5

Para o cálculo da V a r ( X ) precisamos lembrar da seguinte fórmula:

V a r X = E X 2 - E X 2

Portanto, precisamos calcular E ( X 2 ) , E ( Y 2 ) e E ( Z 2 )

E X 2 = 1 16 + 12 16 + 45 16 + 112 16 = 170 16 = 10,625

E Y 2 = 7 16 + 20 16 + 27 16 + 16 16 = 70 16 = 4,375

E Z 2 = 4 16 + 18 16 + 48 16 + 100 16 + 108 16 + 98 16 + 64 16 = 440 16 = 55 2

Substituindo nas fórmulas, temos:

V a r X = 10,625 - 2,125 2 = 0,8594

V a r Y = 4,375 - 1,875 2 = 0,8594

V a r Z = 55 2 - 5 2 = 2,5

Resposta

(a)

(b)

E X ≅ 3,125

E Y = 1,875

E Z = 5

V a r X = 0,8594

V a r Y = 0,8594

V a r Z = 2,5

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