Enunciado

A espessura de um filme fotorresistente aplicado a pastilhas na fabricação de semicondutores, em uma certa localização na pastilha, está uniformemente distribuída entre 0.2050 e 0.2150 micrômetros.

  1. Determine a função de distribuição cumulativa da espessura do filme fotorresistente.
  2. Determine a proporção de pastilhas que excedem 0.2125 micrômetros na espessura do filme fotorresiste.
  3. Que espessura é excedida por 10% das pastilhas?
  4. Determine a média e a variância da espessura do filme fotorresiste.

Passo 1

É dado que X é uma distribuição uniforme entre 0.2050 e 0.2150

α = 0.0050

β = 0.2150

Na letra a:

A função de densidade de probabilidade de uma distribuição uniforme é o recíproco da diferença dos limites, no intervalo entre os limites:

f ( x ) = 1 β - α = 1 0.2 150 - 0.2050 = 1 0.0100 = 100

Passo 2

A função de distribuição cumulativa F é a integral de f sobre ( - ∞ , x ) :

F ( x ) = ∫ - ∞ x f ( x ) d x = ∫ 0.2050 x 100 d x = ( 100 x ) | x 0.2050 = 100 x - 100 ( 0.2050 ) = 100 x - 20.50

A função de distribuição cumulativa F é zero se x < 0.2050 , e 1 se x > 0.2150 :

F ( x ) = 0 ,   x < 0.2050

F ( x ) = 100 x - 20.50 ,   0.2050 ≤ x ≤ 0.2150

F ( x ) = 1 ,   x > 0.2150

Passo 3

Na letra b:

A regra do complemento é:

P ( n ã o   s e r   A ) = 1 - P ( A )

A função de distribuição cumulativa F é a probabilidade cumulativa P ( X ≤ x ) = P ( X < x ) :

P ( X < 0.2125 ) = 100 ( 0.2125 ) - 20.50 = 0.75

Usando a regra do complemento:

P ( X ≥ 0.2125 ) = 1 - P ( X < 0.2125 ) = 1 - 0.75 = 0.25

Passo 4

Na letra c:

Estamos procurando por x tal que a probabilidade de um valor maior que x é 10% ou 0.10:

P ( X > x ) = 10 % = 0.10

Usando a regra do complemento:

P ( X ≤ x ) = 1 - P ( X > x ) = 1 - 0.10 = 0.90

A função de distribuição cumulativa F é a probabilidade cumulativa P ( X ≤ x ) = P ( X < x ) :

P ( X ≤ x ) = F ( x ) = 100 x - 20.50

Essa probabilidade tem que ser igual a 0.90:

100 x - 20.50 = 0.90

x = 0.214

Passo 5

Na letra d:

Suponha que X seja uma variável aleatória contínua, com uma função densidade de probabilidade f ( x ) . A média, ou o valor esperado de X , denotados por μ ou E ( X ) , são:

μ = E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f ( x ) d x

A variância de X , denotada por V ( X ) ou σ 2 é:

σ 2 = V ( X ) = ∫ - ∞ ∞ ( x - μ ) 2 f ( x ) d x = ∫ - ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x - μ 2

O desvio padrão de X é:

σ = V ( X )

Sabendo disso, vamos calcular o que se pede:

A média de uma distribuição uniforme é a média dos limites:

μ = α + β 2 = 0.2050 + 0.2150 2 = 0.2100

E a variância de uma distribuição uniforme é a diferença quadrática dos limites divididos por 12:

σ 2 = ( β - α ) 2 12 = ( 0 . 2150 - 0.2050 ) 2 12 ≈ 0.0000083333 = 8.3 × 1 0 - 6

Resposta

  1. F ( x ) = 0 ,   x < 0.2050
  2. F ( x ) = 100 x - 20.50 ,   0.2050 ≤ x ≤ 0.2150

    F ( x ) = 1 ,   x > 0.2150

  3. 0.25
  4. x=0.214
  5. Média= 0.2100, Variância=0.000008333 ou 8.33 × 1 0 - 6
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