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Para estudar o comportamento do mercado automobilístico, as marcas foram divididas em três categorias: marca F, marca W, e as demais reunidas como marca X. Um estudo sobre o hábito de mudança de marca mostrou o seguinte quadro de probabilidade:

A compra do primeiro carro é feita segundo as seguintes probabilidades: marca W com 50%, marca F com 30% e marca X com 20%.

(a) Qual a probabilidade de um indivíduo comprar o terceiro carro da marca W?

(b) Se o terceiro carro é da marca W, qual a probabilidade de o primeiro também ter sido W?

Passo 1

Vamos indicar a ordem de compra dos carros através de índices ao lado das marcas, beleza?

É falado que a compra do primeiro carro é feita segundo as seguintes probabilidades: marca W com 50%, marca F com 30% e marca X com 20%, logo

P W 1 = 0,50 ;   P F 1 = 0,30   e   P X 1 = 0,20

Também é nos dado para a gente as probabilidades condicionais. É? Sabia não... Basta analisarmos a tabela do problema, com isso temos

P W 2 W 1 = 0,50 ;   P W 2 F 1 = 0,15 ;   P W 2 X 1 = 0 , 30

P F 2 W 1 = 0,25 ;     P F 2 F 1 = 0,70 ;     P F 2 X 1 = 0,30

P X 2 W 1 = 0,25 ;     P X 2 F 1 = 0,15 ;     P X 2 X 1 = 0,40

Passo 2

(a) Qual a probabilidade de um indivíduo comprar o terceiro carro da marca W?

Pelo Teorema da Probabilidade Total, temos

P W 3 = P W 3 W 2 P W 2 + P W 3 F 2 P F 2 + P W 3 X 2 P ( X 2 )

Beleza... mas quem são P W 2 ;   P F 2   e   P X 2 ?

Utilizando novamente o Teorema da Probabilidade Total, temos

P W 2 = P W 2 W 1 P W 1 + P W 2 F 1 P F 1 + P W 2 X 1 P X 1 =

= 0,50 0,50 + 0,15 0,30 + 0,30 0,20 = 0,355 ;

P F 2 = P F 2 W 1 P W 1 + P F 2 F 1 P F 1 + P F 2 X 1 P X 1 =

= 0 , 25 0,50 + 0 , 70 0,30 + 0,30 0,20 = 0,3 9 5   e  

P X 2 = P X 2 W 1 P W 1 + P X 2 F 1 P F 1 + P X 2 X 1 P X 1 =

= 0 , 25 0,50 + 0,15 0,30 + 0 , 4 0 0,20 = 0 , 250 .

Substituindo, temos

P W 3 = 0,500 0,355 + 0,150 0,395 + 0,300 0,250 ≅ 0,312

Passo 3

(b) Se o terceiro carro é da marca W, qual a probabilidade de o primeiro também ter sido W?

Pelo Teorema de Bayes, temos

P W 1 W 3 = P W 3 W 1 P W 1 P W 3

Mas quem é P W 3 W 1 ?

P W 3 W 1 = P W 3 W 2 P W 2 W 1 + P W 3 F 2 P F 2 W 1 + P W 3 X 2 P X 2 W 1

= 0,50 0,50 + 0,15 0,25 + 0,30 0,25 = 0,3625

Logo

P W 1 W 3 = 0,3625 0,50 0,312 ≅ 0,58

Resposta

a ≅ 0,312

b ≅ 0,58

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