Enunciado

Os colégios A, B e C têm as seguintes porcentagens de rapazes, respectivamente: 40%, 20% e 10%. Um desses colégios é selecionado ao acaso e oito alunos são escolhidos, com reposição. Se o resultado for RRRMMMMM (R para rapaz e M para moça), qual é a probabilidade de ter sido selecionado o colégio C?

Passo 1

Primeiro, vamos “mastigar” o enunciado e anotar os dados:

Colégios

- A: 40% rapazes 60% moças

- B: 20% rapazes 80% moças

- C: 10% rapazes 90% moças

Evento D: Oito alunos são escolhidos ao acaso com reposição, sendo o resultado:

R R R M M M M M

Queremos saber: Qual a probabilidade de ter selecionado o colégio C, dado esse resultado?

Ou seja, queremos P ( C | D ) .

Passo 2

Sabemos que:

P C D = P C ∩ D P D

Precisamos calcular então:

P C ∩ D   e   P ( D )

Passo 3

Cálculo de P ( C ∩ D )

Queremos saber a probabilidade de ter retirado 3 rapazes e 5 moças na escola C. Logo

8 ! 3 ! 5 ! . 0,10 3 . 0,90 5 = 0,033

Cálculo de P D

Vamos utilizar o Teorema da Probabilidade Total:

P D = P A . P D A + P B . P D B + P C . P D C

P D = P A ∩ D + P B ∩ D + P ( C ∩ D )

Passo 4

Beleza... mas quem é P ( A ∩ D ) ?

É a probabilidade de ter sorteado 3 rapazes e 5 moças na escola A, certo?

8 ! 3 ! 5 ! . 0,40 3 . 0,60 5

E P ( B ∩ D ) ?

8 ! 3 ! 5 ! . 0 , 2 0 3 . 0 , 8 0 5

Logo:

P D = 8 ! 3 ! 5 ! . 0,40 3 . 0,60 5 + 8 ! 3 ! 5 ! . 0 , 2 0 3 . 0 , 8 0 5 + 8 ! 3 ! 5 ! . 0 , 1 0 3 . 0 , 9 0 5

P D = 0,458

Substituindo, temos:

P C D = 0,033 0,458 = 0,072

Resposta

0,07 2

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