Enunciado

Num estudo comparativo do tempo médio de adaptação, uma amostra aleatória, de 50

homens e 50 mulheres de um grande complexo industrial, produziu os seguintes resultados:

Que conclusões você poderia tirar para a população de homens e mulheres dessa indús-

tria? (Indique as suposições feitas para resolver o problema.)

Passo 1

  Vamos começar definindo a variável: X   =   t e m p o   d e   a d a p t a ç ã o   e m   a n o s

Supondo que as duas populações sejam independentes e normalmente distribuídas, e atribuindo α = 5 %   temos:

N h = N m = 50

X - h = 3,2   a n o s   e   X - m = 3,7   a n o s

S h 2 = 0,64   a n o s   e   S m 2 = 0,81 a n o s

Primeiramente, devemos realizar o teste de hipótese para as variâncias, de forma a determinar se são iguais ou não, para isso usamos:

F = S h 2 σ h 2 S m 2 σ m 2 ~ f n h - 1 ; n m - 1 D i s t r i b u i ç ã o   f   d e   S n e d e c o r ,   c o m   n - 1 n u m e r a d o r = h o m e n s   e   m - 1 ( d e n o m i n a d o r = m u l h e r e s )   g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Passo 2

Teste de Hipótese: H 0 :   σ h 2 - σ m 2 = 0       e       H 1 :   σ h 2 - σ m 2 ≠ 0

Vamos construir nossa região critica: RC={ f 0 ∈ R f 0 < f 1 - α 2 ; n h - 1 ; n m - 1   o u   f 0 > f α 2 ; n h - 1 ; n m - 1

Lembrando que a tabela de F de Snedecor só nos fornece um valor unilateral superior, ou seja, quando queremos encontrar o limite inferior, devemos inverter os graus de liberdade do numerador(homens) e denominador(mulheres) e tomar o inverso do valor encontrado na tabela:

Então:

f 0,025 ; 49 ; 49 = 1,783

E

f 0,975 ; 49 ; 49 = 1 f 0,025 ; 49 ; 49 = 1 1,7828 = 0,561

Portanto nossa Região crítica assume a seguinte forma: R C = f 0 < 0,561   o u   f 0 > 1,783

Teste sob H 0 :

f 0 = S h 2 σ h 2 S m 2 σ m 2 = S h 2 S m 2 = 0,64 0,81 = 0,790

Como f 0 = 0,790 não pertence à RC, não rejeitamos H 0   e há evidencias de que as variâncias são iguais.

Passo 3

Teste de hipótese para a média de duas populações normais com variâncias desconhecidas e iguais:

T = X - h - X - m - μ h - μ h S c 2 1 n h + 1 n m     ~ t n h + n m - 2

D i s t r i b u i ç ã o   t - s t u d e n t ,   c o m   N h + N m - 2   g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Onde:

S c 2 = n h - 1 . S h 2 + n m - 1 . S m 2 n h + n m - 2 = 0,725

Teste de hipótese: H 0 :   μ h - μ m = 0     e     H 1 : μ h - μ m ≠ 0

Novamente vamos construir nossa região crítica: RC={ t 0 ∈ R t 0 < - t α 2 ; 98   o u   t 0 > t α 2 ; 98

Onde: t 0,025 ; 98 = ±   1,99  

Lembrando que na tabela de t-student, quando temos um limite bilateral “ ≠ ” na hipótese alternativa, o p 2 = α 2 = 0,025 .

Logo, nossa região crítica assume a seguinte forma: R C = t 0 < - 1,99   o u   t 0 > 1,99

Realizando o teste sob H 0 :

t 0 = 3,2 - 3,7 - 0 0,725 1 25 = - 2,936

Portanto t 0 = - 2,936 ∈ R C , rejeitamos H 0 , e há evidencias de que homens e mulheres possuem tempos de adaptação diferentes.

Resposta

Portanto t 0 = - 2,936 ∈ R C , rejeitamos H 0 , e há evidencias de que homens e mulheres possuem tempo de adaptação diferentes.

Supondo que as duas populações são normais e independentes.

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