Enunciado

O Exemplo 4.4 apresentou o conceito de tempo de avanço no fluxo de tráfego e propôs uma distribuição particular para X o tempo de avanço entre dois carros consecutivos selecionados aleatoriamente (em segundos). Suponha que, em um ambiente de tráfego diferente, a distribuição do tempo de avanço tenha a forma

f x = k x 4                         x > 1 0                               x ≤ 1

a. Determine o valor de k para o qual f(x) é uma fdp legítima.

b. Obtenha a função de distribuição acumulada.

c. Use a fdc de (b) para determinar a probabilidade de o tempo de avanço exceder 2 segundos e também a probabilidade de ele estar entre 2 e 3 segundos.

d. Obtenha o valor médio do tempo de avanço e seu desvio padrão.

e. Qual é a probabilidade de o tempo de avanço estar dentro de 1 desvio padrão em relação à média?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Essa questão é bem longa né? Para resolvermos ela, vamos definindo cada parte conforme formos resolvendo. Então, bora láá!!!

Passo 2

A função f é uma fdp legítima. Portanto, a integral sobre todos os valores possível de x é igual a 1.

∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 ∞ k x - 4 d x

= - k 3 x 3 1 ∞

= k 3

Como essa integral tem que ser igual a 1, então:

k 3 = 1

k = 3

Passo 3

A função de distribuição cumulativa é a integral da fdp de todos os valores até x .

∫ - ∞ x f ( x ) d x = ∫ 1 x 3 x - 4 d x

= - 3 3 x 3 1 x

∫ - ∞ x f ( x ) d x = 1 - 1 x 3

Passo 4

A função de distribuição cumulativa de F em x é a probabilidade de no máximo x :

F x = P X ≤ x = P ( X < x )

Logo, a probabilidade de exceder 2 segundos é:

P X > 2 = 1 - P X ≤ 2 = 1 - F 2 = 1 - 1 - 1 2 3 = 0,125

E a probabilidade de estar entre 2 e 3 segundos:

P 2 < x < 3 = P X < 3 - P X < 2 = F 3 - F 2 = 1 - 1 3 3 - 1 - 1 2 3 = 0,088

Passo 5

O valor esperado (ou média) é a soma (integral) do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) .

μ = ∫ - ∞ ∞ x f ( x ) d x

= ∫ 1 ∞ x 3 x 4 d x

= 3 x - 2 - 2 1 ∞

μ = 1,5

A variância pode ser calculada da seguinte forma:

σ 2 = ∫ - ∞ ∞ x - μ 2 f ( x ) d x

= ∫ 1 ∞ x - 1,5 2 3 x 4 d x

= ∫ 1 ∞ x 2 - 3 x + 2,25 3 x - 4 d x

= 3 x - 1 - 1 + - 9 x - 2 - 2 + 6,75 x - 3 - 3 1 ∞

= 3 4

E o desvio padrão é a raiz da variância:

σ = 3 4 = 0,866

Passo 6

Finalmente, para calcularmos essa probabilidade, precisamos determinar os valores que são um desvio padrão da média:

μ - σ = 3 2 - 3 2 = 3 - 3 2

μ + σ = 3 2 + 3 2 = 3 + 3 2

Logo, a probabilidade é definida por:

P 3 - 3 2 < x < 3 + 3 2 = P X < 3 + 3 2 - P X < 3 - 3 2

= F 3 + 3 2 - F 3 - 3 2

= 1 - 1 ( 3 + 3 ) / 2 3   - 0

P 3 - 3 2 < x < 3 + 3 2 = 0,9245

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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