Enunciado

Explique por que uma função aleatória gama com parâmetros (t, A) tem aproximadamente uma distribuição normal quando t é grande.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Vamos supor que X é a nossa função aleatória gama com os parâmetros do enunciado.

Se t → ∞ (enquanto λ permanece constante) então X tem uma distribuição aproximadamente normal. Assim

Z = X -   E X V a r X   ~   N ( 0,1 )

A média e as variâncias da distribuição gama são:

E X = t λ

V a r X = t λ 2

Substituindo:

Z = X - t λ t λ 2 = λ X t - t

Além disso, a função geradora de momento de distribuição gama é:

M U : X = 1 - u λ - t

M U : Z = M U : λ X t - t

M U : Z = e - U t 1 - U t - t

Se a gente aplicar log dos dois lados

L o g   M U : Z = log ⁡ e - U t 1 - U t - t

L o g   M U : Z = - U t + t l o g 1 - U t - 1

L o g   M U : Z = U 2 2 + U 3 3 t + …

Aqui, nós vamos ver que todos os termos tem t no denominador, exceto o primeiro, então

lim t → ∞ ⁡ L o g   M U : Z = U 2 2

Resposta

lim t → ∞ ⁡ L o g   M U : Z = U 2 2

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