Enunciado

Um fabricante de cerais sabe que o peso do produto por caixa varia levemente entre uma caixa e outra. De fato, dados históricos consideráveis permitiram a determinação da função de densidade que descreve a estrutura de probabilidade para o peso, em onças (1 onça = 28,4 gramas). Na verdade, sendo X a variável aleatória do peso, em onças, a função de densidade pode ser descrita como

f x = 2 5 ,             23,75 ≤ x ≤ 26,25 0 ,                             c a s o   c o n t r á r i o

(a) Verifique que essa é uma função de densidade válida.

(b) Determine a probabilidade de que o peso seja menor que 24 onças (aproximadamente 595 gramas).

(c) A empresa deseja que um peso superior a 26 onças (aproximadamente 738 gramas) ocorra muito raramente. Qual é a probabilidade de que esta ocorrência rara ocorra realmente?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para que a função de densidade seja válida, ela deve respeitar a seguinte relação:

∫ - ∞ ∞ f x d x = 1

Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

Verificando a validade da função de densidade pela fórmula do Passo 1:

∫ - ∞ ∞ f x d x = 1

∫ 23,75 26,25 2 5 d x = 1

2 5 x 23,75 26,25 = 1

2 5 26,25 - 23,75 = 1

1 = 1

Logo, a função é válida.

Passo 3

O enunciado nos pede a probabilidade que o peso seja menor do que 24 onças. Logo, queremos encontrar P ( X < 24 ) .

P X < 24 = ∫ - ∞ 24 f ( x ) d x

= ∫ 23,75 24 2 5 d x

= 2 5 x 23,75 2 4

= 2 5 24 - 23,75

P X < 24 = 0 , 1

Passo 4

Por fim, queremos a probabilidade de o peso ser maior do que 26 onças. Então, precisamos calcular P ( X > 26 ) .

P X > 26 = ∫ 26 ∞ f x d x

= ∫ 26 26,25 2 5 d x

= 2 5 x 2 6 2 6,25

= 2 5 26,25 - 26

P X > 26 = 0,1

Resposta

(a) A função é válida

(b) 0 , 1

(c) 0 , 1

Exercícios de Livros Relacionados

O tempo adequado de troca de um amortecedor de certa marca em automóveis ,sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável contínua, medida em anos. Suponha que a função densid
O acréscimo anual na área atingida por uma certa praga, numa região produtorade frutas, pode ser modelado por uma variável aleatória contínua, medida emhectares ( 10 mil m 2 ) com densidade:b. Qual se
O gráfico a seguir representa a densidade de uma variável aleatória contínua X . d. Determine um número c tal que P Xc = 1 2 .
O tempo adequado de troca de um amortecedor de certa marca em automóveis ,sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável contínua, medida em anos. Suponha que a função densid
O acréscimo anual na área atingida por uma certa praga, numa região produtorade frutas, pode ser modelado por uma variável aleatória contínua, medida emhectares ( 10 mil m 2 ) com densidade:Construa o