Enunciado

Um fabricante de fibra textil esta investigando um novo fio,que a companhia afirma ter um alongamento medio de 12 quilogramas.com um desvio-padraio de 0.5 quilograma.A companhia deseja testar a hipotese //ep-12 contra /p

  1. Qual sera a probabilidade do erro tipo l.se a regiao critica for definida como i
  2. Encontre B para o caso em que o alongamento medio verdadeiro seja 11.25 quilogramas.
  3. Encontre B para o caso em que a media verdadeira seja 11.5 quilogramas.

Passo 1

A probabilidade de cometer um erro tipo I é

α = P (  erro tipo I ) = P  rejeita  H 0  quando  H 0  é verdadeiro).                  (1) 

Às vezes, a probabilidade de erro tipo I é chamada de nível de significância, erro- α ou tamanho do teste.

A empresa afirma ter um alongamento médio do fio de

μ = 12 k g

com um desvio padrão de

σ = 0.5 k g

Passo 2

Letra a:

Se a região crítica for definida como:

x - < 11.5 k g

Então, pela Equação (1), a probabilidade de erro tipo I é

α = P ( x - < 11.5   q u a n d o   μ = 12 ) = P x - - μ σ n < 11.5 - μ σ n  quando  μ = 12 = P x - - 12 0.5 4 < 11.5 - 12 0.5 4 = * P ( z < - 2 )

( * ) : A distribuição da variável aleatória

z = x - - μ σ / n

é aproximadamente normal com média μ   e desvio padrão σ n . Portanto, a partir da Tabela III do Apêndice, a probabilidade de erro tipo I é

α = P ( x - < 11.5  quando  μ = 12 ) = 0.02275

Passo 3

Letra b:

Ao avaliar o procedimento de teste de hipótese, também é importante examinar a probabilidade de um erro do tipo II. Isso é

β = P  erro tipo II = P  falha em rejeitar  H 0  quando  H 0  é falso                      ( 1 )

O verdadeiro alongamento médio é 11.25 kg, então, pela Equação (1), obtemos

β = P ( x - > 11.5   q u a n d o   μ = 11.25 ) = P x - - μ σ / n > 11.5 - μ σ / n  quando  μ = 11.25

= P x - - 11.25 0.5 4 > 11.5 - 11.25 0.5 4 = P ( z > 1 ) = 1 - P ( z ≤ 1 )

Portanto, a partir da Tabela III do Apêndice, a probabilidade de erro tipo II é

β = P ( x - > 11.5  quando  μ = 11.25 ) = 0.158655

Passo 4

Letra c:

O verdadeiro alongamento médio é 11.5 kg, então, da Equação (1), obtemos

β = P ( x - > 11.5   q u a n d o   μ = 11.5 ) = P x - - 11.5 0.5 4 > 11.5 - 11.5 0.5 4 = P ( z > 0 )

Portanto, a partir da Tabela III do Apêndice, a probabilidade de erro do tipo II é

β = P ( x - > 11.5  quando  μ = 11.25 ) = 0.5

Resposta

  1. α = 0.02275
  2. β = 0.158655
  3. β = 0.5
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