Enunciado

A fdc da duração da retirada X descrita no Exercício 1 é

f x = 0                                           x < 0 x 2 4                                 0 ≤ x < 2 1                                         2 ≤ x

Use tais condições para calcular os itens a seguir

a. P ( X ≤ 1 )

b. P ( 0,5 ≤ X ≤ 1 )

c. P ( X > 0,5 )

d. A mediana da duração da retirada μ ~ [resolva 0,5 = F μ ~ ]

e. F ' x para obter a função de densidade f ( x )

f. E ( X )

g. V ( X ) e σ X

h. Se o aluno retira o livro tem uma quantia a pagar h X = X 2 , quando a duração da retirada é X , calcule a taxa esperada E [ h X ] ;

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Essa questão é bem longa né? Para resolvermos ela, vamos definindo cada parte conforme formos resolvendo. Então, bora láá!!!

Passo 2

Usando a fdc dada pelo enunciado, a probabilidade é calculada como:

P X ≤ 1 = F ( 1 )

= 1 2 4

P X ≤ 1 = 0,25

Passo 3

Usando a fdc dada pelo enunciado, a probabilidade é calculada como:

P 0,5 ≤ X ≤ 1 = F 1 - F ( 0,5 )

= 1 2 4 - 0,5 2 4

P 0,5 ≤ X ≤ 1 = 0,1875

Passo 4

Usando a fdc dada pelo enunciado, a probabilidade é calculada como:

P X > 1,5 = 1 - F ( 1,5 )

= 1 - 1,5 2 4

P X > 1,5 = 0,4375

Passo 5

De acordo com a definição da mediana, podemos escrever:

F μ ~ = 0,5

Agora pelo fdc do enunciado:

μ ~ 2 4 = 0,5

μ ~ 2 = 2

μ ~ = 1,414

Passo 6

Apenas no intervalo 0 ≤ x < 2 que teremos uma função de x e não uma constante. Logo, só precisamos da derivada desse intervalo.

f x = d d x x 2 4 = x 2

Por fim, podemos denotar f ( x ) como:

f x = 0                                                   x < 0 x 2                                 0 ≤ x < 2 1                                                 2 ≤ x

Passo 7

Para encontrar o valor esperado usamos a fdp que calculamos no Passo 6.

E X = ∫ - ∞ ∞ x f ( x ) d x

= ∫ 0 2 x ∙ x 2 d x

= 1 2 2 3 3 - 0

E X = 4 3

Passo 8

Para encontrarmos a variância, precisamos achar o valor esperado para X 2 .

E X 2 = ∫ - ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x

= ∫ 0 2 x 2 ∙ x 2 d x

= 1 2 2 4 4 - 0

E X 2 = 2

Agora, a variância é dada pela fórmula abaixo:

V X = E X 2 - E X 2

= 2 - 4 3 2

V X = 0,2222

E o desvio padrão é a raiz da variância:

σ X = 0,2222 = 0,4714

Passo 9

Finalmente, é dado que h X = X 2 , então:

E h X = E [ X 2 ]

Sendo assim, como já calculamos no passo 2.

E h X = 2

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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