Enunciado

A fdp conjunta de pressões dos pneus dianteiros é dada no Exercício 9.

a. Determine a fdp condicional de Y , dado que X = x , e a fdp condicional de X , dado que Y = y .

b. Se a pressão no pneu direito for 22 psi, qual é a probabilidade de o pneu esquerdo ter uma pressão de no mínimo 25 psi? Compare com P ( Y ≥ 25 ) .

c. Se a pressão no pneu direito for 22 psi, qual é a pressão esperada no pneu esquerdo e qual é o desvio padrão da pressão desse pneu?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? No Exercício 9, encontramos o seguinte valor K = 3 380000   , vamos usar essa constante para acharmos o que o enunciado nos pede. Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Usando o resultado que encontramos para a fdp marginal no Exercício 9.

f X = 10 ∙ K x 2 + 0,05

De forma similar encontraremos f Y apenas trocando o x pelo y .

Então, a fdp condicional das variáveis é:

f Y | X y x = f x , y f X ( x ) = K x 2 + y 2 10 K x 2 + 0,05

f X | Y x y = f x , y f Y ( y ) = K x 2 + y 2 10 K y 2 + 0,05

Passo 3

A primeira probabilidade pode ser descrita pelo evento abaixo:

Y ≥ 25 | X = 22

Logo, a probabilidade é:

P Y ≥ 25 X = 2 2 = ∫ 25 30 f Y | X ( y | 22 ) d y

= ∫ 25 30 K 22 2 + y 2 10 K ∙ 22 2 + 0,05 d y

P Y ≥ 25 X = 22 = 0,56

E a segunda probabilidade tem o seguinte evento Y ≥ 25 .

P Y ≥ 25 = ∫ 25 30 f Y ( y ) d y

= ∫ 25 30 ( 10 K y 2 + 0,05 ) d y

= 0,75

Com isso, podemos concluir que a probabilidade de que a pressão no pneu esquerdo seja pelo menos 25 psi é maior do que a probabilidade de que a pressão do pneu esquerdo seja de pelo menos 25 psi, com o pneu direito definido em 22 psi.

Passo 4

O valor esperado pode ser calculado pela fórmula abaixo:

E X = μ X = ∫ - ∞ ∞ x ∙ f ( x ) d x

Portanto, no nosso exemplo temos:

E Y X = 22 = ∫ - ∞ ∞ y ∙ f Y | X y 22 d y

= ∫ 20 30 y K ( 22 2 + y 2 ) 10 K ∙ 22 2 + 0,05 d y

E Y X = 22 = 25,37

Enquanto que o a variância é:

σ X - = E X 2 - E X 2

E o desvio padrão:

σ X = σ X -

Com isso, precisamos calcular mais um valor esperado.

E Y 2 X = 22 = ∫ - ∞ ∞ y 2 ∙ f Y | X y 22 d y

= ∫ 20 30 y 2 K ( 22 2 + y 2 ) 10 K ∙ 22 2 + 0,05 d y

E Y X = 22 = 652,03

Sendo assim, a variância é:

σ Y - | X = 22 = 652,03 - 25,37 2

σ Y - | X = 22 = 8,3931

Por fim, o desvio padrão é definido por:

σ Y | X = 22 = 8,3931 = 2,8971

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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