Enunciado

Uma firma de biotecnologia pode produzir kits para testes de diagnósticos, ao custo de US$20,00. Cada kit, do qual há uma demanda na semana de produção, pode ser vendido a US$ 100,00. No entanto, devido à meia-vida dos componentes do kit, o mesmo deve ser jogado fora, caso não seja vendido na semana de produção.

O custo de jogar fora o kit é de US$ 5. A demanda semanal é resumida a seguir:

Quantos kits devem ser produzidos a cada semana para maximizar a média de ganhos da firma?

Passo 1

Bom gente, só faz sentido produzir 0,50,100 ou 200 kits. Qualquer outro número de kits necessariamente traz mais perdas do que lucro. Por exemplo, se o número de kits produzidos for 57, então no caso que a demanda é 50 ou menos, seria melhor produzir apenas 50 ou menos kits. No caso de demanda superior a 100, seria melhor produzir 100 ou mais kits, porque o lucro excede o preço de produção.

Agora, vamos calcular o lucro nos quatro casos, usando a regra da probabilidade total

e os preços indicados no texto do exercício:

Primeiro, a produção é de 0 kits. Nesse caso, o lucro é 0 também.

Passo 2

Segundo, a produção é de 50 kits.

  • A demanda é 0 com probabilidade 0.05 , portanto, com probabilidade 0.05 , perdemos 50 × 5 = 250 $ o que leva ao lucro médio de - 0.05 × 250 =   - 12.5 $
  • A demanda é 50 com probabilidade 0.4 , assim, com probabilidade de 0.4 , obtemos 50 × 100 = 5000 $ , o que leva ao lucro médio de 0.4 × 500 = 2000 $
    • A demanda é 100 com probabilidade 0.3 , então, com probabilidade 0.3 obtemos 50 × 100 = 5000 $ , o que leva ao lucro médio de 0.3 × 5000 = 1500 $
      • A demanda é 200 com probabilidade 0.25 , então com probabilidade 0.25 , nós obtemos 50 × 100 = 5000 $ , o que leva ao lucro médio de 0.25 × 5000 = 1250 $
      • Não importa qual seja a demanda, perdemos 50 × 20 = 1000 $ para a produção.
      • No total, o lucro médio é:

        - 12.5 + 2000 + 1500 + 1250 - 1000 = 3737.5 $

        Passo 3

        Agora, a produção de 100 kits:

      • A demanda é 0 com probabilidade 0.05 , portanto, com probabilidade 0.05 , perdemos 100 × 5 = 500 $ o que leva ao lucro médio de - 0.05 × 500 =   - 25 $
      • A demanda é 50 com probabilidade 0.4 , assim, com probabilidade de 0.4 , obtemos 50 × 100 = 5000 $ , e perdemos 50 × 5 = 250 $ o que leva ao lucro médio de 0.4 × ( 5000 - 250 ) = 1900 $
      • A demanda é 100 com probabilidade 0.3 , então, com probabilidade 0.3 obtemos 100 × 100 = 10000 $ , o que leva ao lucro médio de 0.3 × 10000 = 3000 $
      • A demanda é 200 com probabilidade 0.25 , então com probabilidade 0.25 , nós obtemos 100 × 100 = 10000 $ , o que leva ao lucro médio de 0.25 × 10000 = 2500 $
      • Não importa qual seja a demanda, perdemos 100 × 20 = 2000 $ para a produção.
      • No total, o lucro médio é:

        - 25 + 1900 + 300 + 2500 - 2000 = 5375 $

        Passo 4

        Agora, a produção de 200 kits:

      • A demanda é 0 com probabilidade 0.05 , portanto, com probabilidade 0.05 , perdemos 200 × 5 = 1000 $ o que leva ao lucro médio de - 0.05 × 1000 =   - 50 $
      • A demanda é 50 com probabilidade 0.4 , assim, com probabilidade de 0.4 , obtemos 50 × 100 = 5000 $ , e perdemos 150 × 5 = 750 $ o que leva ao lucro médio de 0.4 × ( 5000 - 750 ) = 1700 $
    • A demanda é 100 com probabilidade 0.3 , então, com probabilidade 0.3 obtemos 100 × 100 = 10000 $ , e perdemos 100 × 5 = 500 $ , o que leva ao lucro médio de 0.3 × ( 10000 - 500 ) = 2850 $
  • A demanda é 200 com probabilidade 0.25 , então com probabilidade 0.25 , nós obtemos 200 × 100 = 20000 $ , o que leva ao lucro médio de 0.25 × 20000 = 5000 $
  • Não importa qual seja a demanda, perdemos 200 × 20 = 4000 $ para a produção.

No total, o lucro médio é:

- 50   + 1700 + 2850 + 5000 - 4000 = 5500 $

Então, vemos que o maior lucro médio é obtido se a produção for de 200.

Resposta

200.

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