Enunciado

Foram analisadas seis amostras de cada um dos quatro tipos de grão de cereal cultivados em uma região para determinar o teor de tiamina, o que gerou os seguintes dados (µg/g):

Será que esses dados sugerem que pelo menos dois tipos de grão são diferentes em relação ao teor médio real de tiamina? Use um nível de teste α = 0,05 com base no método do valor P

Passo 1

Note que primeiro temos

I = 4 ,   c o l u n a s - t r a t a m e n t o s   g e r a l m e n t e   e s t ã o   e m   l i n h a s

E

J = 6 ,   l i n h a s   -   a m o s t r a s   d e   c a d a   t i p o

A tabela a seguir precisa ser preenchida com os valores correspondentes:

Os graus de liberdade são

I - 1 = 4 - 1 = 3

I J - 1 = 4 6 - 1 = 20

I J - 1 = 4 ∙ 6 - 1 = 23

Temos que

x i .   =   ∑ j = 1 J x i j ;

x . .   =   ∑ i = 1 I ∑ j = 1 J x i j .

A soma total dos quadrados (SST), tratamento soma de quadrados (SSTr), e erro soma dos quadrados (SSE) são dados por

S S T =   ∑ i = 1 I ∑ j = 1 J x i j - x - . . 2 =   ∑ i = 1 I ∑ j = 1 J x i j 2 - 1 I ∙ J x 2 . .

Passo 2

Os quadrados médios são

M S T r = 1 I - 1 S S T r ;

M S E = 1 I J - 1 S S E

F é a razão dos dois quadrados médios

F = M S T r M S E

Calcule todos os valores um por um. Ao somar as colunas correspondentes (geralmente linhas), valores de x i são

x 1 .   = 5.2 + 4.5 + … + 5.8 = 34.3 ;

x 2 .   = 6.5 + 8 + … + 5.6 = 39.6 ;

x 3 .   = 5.8 + 4.7 + … + 5.2 = 33 ;

x 4 .   = 8.3 + 6.1 + … + 7.2 = 41.9 ;

Passo 3

Valores de x i - .   = 1 J x i são dados por

A grande média x - . . é

x - . .   = 1 I J ∙ x . .   = 1 I J ∑ i = 1 I ∑ j = 1 J x i j = 1 4 ∙ 6 5.2 + 6.5 + … + 5.2 + 7.2

= 6.2 ,

E

x . .   =   ∑ j = 1 J x i j = 5.2 + 6.5 + … + 5.2 + 7.2 = 148.8

A soma total dos quadrados é

A soma dos quadrados do tratamento é

A identidade fundamental

S S T = S S T r + S S E

A soma dos quadrados do erro é

S S E = S S T - S S T r = 24.12 - 8.98 = 15.14

Os quadrados médios podem ser calculados agora como

M S T r = 1 I - 1 S S T r = 1 3 8.98 = 2.99 ;

M S E = 1 I J - 1 S S E = 1 4 6 - 1 15.14 = 0.757

O valor da estatística F é

f = M S T r M S E = 2.99 0.757 = 3.95

A tabela ANOVA agora se torna

Quanto aos testes usuais, você pode tirar conclusões sobre as hipóteses observando o valor crítico de F ou um valor de P. Lembre-se que as hipóteses de interesse são

H 0   :   μ i =   μ j ,   i ≠ j

Versus a hipótese alternativa

H a   : p e l o   m e n o s   d o i s   d o s   μ i   s e r e m   d i f e r e n t e s

O valor P é a área à direita do valor f sob a curva F onde F tem distribuição de Fisher com graus de liberdade 3 e 20; portanto

P = P F > f = P F > 3.95 = 0.023

que foi calculado usando software (você pode estimá-lo usando a tabela no apêndice). Porque

P = 0.023 <   0.05 = α

rejeitar hipótese nula em determinado nível de significância.

Usando a tabela, você pode usar, por exemplo, valor F 0,05,3 , 20 para o qual a área sob a curva FF à direita de F 0.05,3 , 20 é 0.05. O valor é

F 0.05,3 , 30 = 3.1 < 3.95 = f

E o valor F 0.01,3 , 20 para o qual a área sob a curva F à direita de F 0,01,3 , 20 é 0.01

F 0.01,3 , 20 = 4.94 > 3.95 = f

assim, vale o seguinte

F 0.05,3 , 30 = 3.1 < 3.95 < 4.94 = F 0.01,3 , 20

então o valor de P está entre 0.01 e 0.05 o que indica a rejeição da hipótese nula no nível de significância 0.05.

Resposta

Rejeitar a hipótese nula.

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