Enunciado

Um grupo de 6 homens e 6 mulheres é dividido aleatoriamente em 2 grupos de 6 pessoas cada. Qual é a probabilidade de que ambos os grupos possuam o mesmo número de homens?

Passo 1

Estamos chegando nas questões mais chatinhas mesmo, vamos pensar queimar o tico e o teco nessa questão.

Mas calma, vamos devagar e sempre. Vou te mostrar todo o raciocínio, você vai se ligar e no final vai acabar achando massa. Vai dar certo.

Primeiro de tudo, ele quer uma probabilidade, e já estamos carecas de saber que probabilidade é sempre o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis.

Normalmente o número de casos possíveis é mais fácil de achar, então vamos começar por ele.

Aqui ele tem 12 pessoas, 6 homens e 6 mulheres, e quer formar grupos de 6 pessoas cada (2 grupos) com aquela restrição, sempre o mesmo número de homens em ambos os grupos. Mas ,nossos casos totais, não é difícil de calcular, vamos ver quantos grupos são capazes de serem formados. 12 pessoas pra serem combinadas de 6 em 6.

n º   d e   c a s o s   t o t a i s = 12 6 = 12 ! 6 ! . 6 ! = 12.11.10.9 . 8.7 6.5 . 4.3 . 2 = 11.9 . 8.7 6 = 11.3 . 4.7 = 924

Passo 2

Agora, vamos pensar em como fazer para calcular o número de casos favoráveis. Bem, primeiro veja que se os dois grupos formados tiverem o mesmo número de homens eles obrigatoriamente terão o mesmo número de mulheres, logo, os grupos serão iguais. Observe também que há 3 casos que podem acontecer que satisfazem a condição do enunciado, são eles: 1 homem em ambos os grupos, 2 homens em ambos os grupos, 3 homens em ambos os grupos. Com isso o número de casos se reduz a combinar 6 pessoas (participantes de um grupo, de 3 em 3, 6 3 mas como temos dois grupos que são iguais multiplicamos isso por 2.

Que nos dá:

n º   d e   c a s o s   f a v o r á v e i s = 2 ⋅ 6 3 = 2 ⋅ 6 ! 3 ! 3 ! = 6.5 . 4.2 6 = 40

Passo 3

Finalmente temos a nossa probabilidade:

P = 40 924 = 20 462 = 10 231

Resposta

10 231

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