Enunciado

Numa indústria deseja-se testar se a produtividade média dos operários do período diurno

é igual à produtividade média dos operários do período noturno. Para isso, colheram-se

duas amostras, uma de cada período, observando-se a produção de cada operário. Os

resultados obtidos foram os seguintes:

De acordo com esses resultados, quais seriam suas conclusões?

Passo 1

Vamos começar definindo a variável X = p r o d u t i v i d a d e .

Considerando que as populações sejam normalmente distribuídas e independentes, tomando α = 5 % , devemos fazer primeiro o teste para as variâncias seguindo a seguinte aproximação:

F = S d 2 σ d 2 S n 2 σ n 2   ~ f n d - 1 ; m n - 1 D i s t r i b u i ç ã o   f   d e   S n e d e c o r ,   c o m   n - 1 n u m e r a d o r   e   m - 1 ( d e n o m i n a d o r )   g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Do enunciado, temos:

X - d = 180 15 = 12

X - n = 150 15 = 10

S d 2 = 2660 - 15 . 12 2 14 = 35,714

S n 2 = 2980 - 15 . 10 2 14 = 105,714

Passo 2

Teste de hipótese: H 0 :   σ d 2 - σ n 2 = 0       e       H 1 :   σ d 2 - σ n 2 ≠ 0

Vamos construir nossa região crítica: R C = { f 0 ∈ R | f 0 < f 1 - α 2 ; n d - 1 ; m n - 1   o u   f 0 > f α 2 ; n d - 1 ; m n - 1 }

Onde: f 0,025 ; 14 ; 14 = 2,98

Lembrando que a tabela de F de Snedecor só nos fornece um valor unilateral superior, ou seja, quando queremos encontrar o limite inferior, devemos inverter os graus de liberdade do numerador e denominador e tomar o inverso do valor encontrado na tabela:

Então:

f 0,975 ; 14 ; 14 = 1 f 0,025 ; 14 ; 14 = 1 2,98 = 0,335

Portanto, nossa região crítica assume a seguinte forma:

R C = f 0 < 0,335   o u   f 0 > 2,98

Teste sob H 0 :

f 0 = S d 2 σ d 2 S n 2 σ n 2 = 35,714 105,714 = 0,3378

Como f 0 = 0,3378 não pertence à região critica, não rejeitamos H 0 e então existem evidencias de que a variância é igual para a produtividade dos operários nos dois períodos.

Passo 3

Agora, devemos realizar o teste de hipótese para a diferença de média em duas populações com distribuição normal e independentes, e com variâncias desconhecidas e iguais:

T = X - d - X - n - μ d - μ n S c 2 1 n d + 1 n n     ~ t n d + m n - 2

D i s t r i b u i ç ã o   t - s t u d e n t ,   c o m   N d + m n - 2   g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Onde:

S c 2 = n d - 1 . S d 2 + m n - 1 . S n 2 n d + m n - 2 = 70,714

Teste de hipótese: H 0 :   μ d - μ n = 0       e     H 1 : μ d - μ n ≠ 0

Construindo a Região Crítica: R C = t 0 ∈ R t 0 < - t α 2 ; 28   o u   t 0 > t α 2 ; 28

Onde: t 0,025 ; 28 = ± 2,048

Lembrando que na tabela de t-student, quando temos um limite bilateral “ ≠ ” na hipótese alternativa, o p 2 = α 2 = 0,025 → p = 5 %

Portanto nossa região critica assume a seguinte forma: R C = t 0 < - 2,048   o u   t 0 > 2,048

Teste sob H 0 :

t 0 = 12 - 10 70,714 2 15 = 0,651

Resposta

Como t 0 = 0,651 não pertence à região critica, não rejeitamos H 0 e portanto existem evidencias de que a produtividade média dos operários é a mesma nos períodos diurno e noturno.

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