Enunciado

Em seu livro Empirical Model Building and Response Surfaces – Construção de Modelos Empíricos e Superfícies de Resposta. (John Wiley, 1987). G. E. Box e N. R. Draper descrevem um experimento com três fatores. Os dados mostrados na tabela a seguir representam uma variação do experimento original na página 247 do referido livro. Suponha que esses dados tenham sido coletados em um processo de fabricação de semicondutores.

( a ) A resposta y 1 é a média de três leituras da resistividade para uma única pastilha. Ajuste um modelo quadrático para essa resposta.

b A resposta y 2 é o desvio-padrão das três medidas da resistividade. Ajuste um modelo linear para essa resposta.

( c ) Onde você recomendaria que estabelecêssemos x 1 , x 2 e x 3 , se o objetivo fosse manter a resistividade média em 500 e minimizar o desvio-padrão?

Passo 1

Bom galera, para resolvermos esse problema a gente considera o modelo y i = β 0 + β 1 x i 1 + … + β k x i k + ϵ i para n observações e p y = X β + ϵ na notação matricial. Para obtermos o modelo y ^ = X β de regressão que funcione precisamos usar a formula:

β = X ' X - 1 X ' y

O vetor dos resíduos é dado por: e = y - y ^ .

O estimador da variante é σ 2 = S S E n - p = e ' e n - p .

A regressão da soma dos quadrados é:

S S R = S S T - S S E = β ' X ' y - ∑ i = 1 n y i 2 n

O coeficiente de determinação múltipla é R 2 = S S R S S T .

Então nós chegamos no modelo:

y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + β 4 x 1 2 + β 5 x 2 2 + β 6 x 3 2 + β 7 x 1 x 2 + β 8 x 1 x 3 + β 9 x 2 x 3 + ϵ

Passo 2

Beleza, agora usando o Minitab para encontrar a equação de regressão. Nós encontraremos:

Com os resultados temos os valores P dos t-testes para os coeficientes de significância de regressão x 1 2 , x 2 2 , x 3 2 e x 2 x 3 são maiores que 0.05 . Com esses termos do modelo vamos realizar um teste F .

Passo 3

Show de bola, fazendo a nova regressão, temos como resultados:

Para encontrarmos a soma extra dos quadrados para testar a significância das variáveis x 1 2 , x 2 2 , x 3 2 e x 2 x 3 :

S R e x t r a = S S R f u l l - S S R r e d u c e d

S R e x t r a = 1248237 - 1211225

S R e x t r a = 37012

Passo 4

O número de coeficiente no nosso teste de significância é r = 4 . No resultado do nosso modelo completo nós encontramos M S E = 5794 . Calculando o valor do teste estatístico:

f 0 = S S R e x t r a / r M S E

= 37012 / 4 5794

1.60

Agora, pegar o P-valor. Notamos que f 0.10,4.17 = 2.31 . Sendo 1.60 < 2.31 , assim P > 0.10 . Então o P-valor é maior, isso não é evidencia para concluir que as variáveis x 1 2 , x 2 2 , x 3 2 e x 2 x 3 são significantes, então essas variáveis podem ser retiradas do nosso modelo.

Notando que todos os coeficientes no modelo de regressão reduzida são significantes, nós obtemos o modelo de segunda ordem assim:

( a ) y ^ = 315 + 177 x 1 + 109 x 2 + 131 x 3 + 66 x 1 x 2 + 75.5 x 1 x 3

Passo 5

Belezinha, agora usando o modelo:

y 2 = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + ϵ

Usando o Minitab para encontrar a equação de regressão, nós temos:

Com esse resultado nós temos os P-valores dos t-testes para a significância dos coeficientes de regressão para x 1 e x 2 , que são maiores que 0.05 .

Passo 6

Então, nós usamos os termos do modelo para fazer um F-teste com as variáveis que encontramos, o teste fica:

Encontrando o extra da soma dos quadrados para o teste de significância das variáveis x 1 e x 2 :

S S R e x t r a = S S R f u l l - S S R r e d u c e d

= 21957 - 15339

= 6618

O número de coeficientes que nós testamos para a significância é r = 2 . Com o resultado M S E = 1646 que nós encontramos no nosso modelo, a gente calcula o valor do teste estatístico:

f 0 = S S R e x t r a / r M S E

= 6618 / 2 1646

= 2.01

Passo 7

Encontrando o P-valor. Notamos que f 0.10,2.23 = 2.55 . Temos assim que 2.01 < 2.55 , com isso P > 0.10 . Então, o P-valor é grande, isso não é evidencia para concluir que as variáveis x 1 e x 2 são significantes. Então, essas variáveis podem ser retiradas do nosso modelo. Ficamos com o nosso modelo assim:

( b ) y ^ 2 = 48.0 + 29.2 x 3

Passo 8

Por fim, nós precisamos minimizar o valor de y ^ 2 quando y ^ 1 = 500 . Sendo y ^ 2 dependente apenas de x 3 , e isso é dependente de uma relação linear com um coeficiente positivo, y ^ 2 é minimizado quando x 3 é minimizado. Procuramos então x 3 na equação de y ^ 1 quando y ^ 1 = 500 .

y ^ 1 = 500 = 315 + 177 x 1 + 109 x 2 + 131 x 3 + 66 x 1 x 2 + 75.5 x 1 x 3

x 3 = 185 - 177 x 1 - 109 x 2 - 66 x 1 x 2 131 + 75.5 x 1

Nós plotamos a superfície e fica:

Vemos então que o valor mínimo para x 3 é obtido quando x 1 = 1 e x 2 = 1 . Encontramos o x 3 :

x 3 = 185 - 177 1 - 109 1 - 66 ( 1 ) ( 1 ) 131 + 75.5 ( 1 )

( c ) x 3 = - 0.8

Resposta

( a ) y ^ = 315 + 177 x 1 + 109 x 2 + 131 x 3 + 66 x 1 x 2 + 75.5 x 1 x 3

( b ) y ^ 2 = 48.0 + 29.2 x 3

( c ) x 3 = - 0.8

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