Enunciado

Uma moeda é adulterada de modo que cara tem três vezes mais probabilidade de ocorrer do que coroa. Determine o número esperado de coroas quando essa moeda é jogada duas vezes.

Passo 1

Que dia lindo, que tal um exercício de probabilidade ein?

Show, vamos nessa!

A principio temos um problema relacionado a valor esperado, e a variável enunciada é uma variável discreta, então vamos recordar a fórmula de valor esperado.

E X = ∑ i = 1 n x i p ( x i )

Nossa variável aleatória X equivale a quantidade de coroas obtidas.

Nosso x = 0,1,2 (valores que nossa variável aleatória assume)

Desse modo, basta apenas descobrir p(xi) para cada caso e assim o exercício acaba, como um passe de mágica.

Passo 2

Então vamos em frente descobri esses possíveis valores de p(x=0), p(x=1) e p(x=2).

Vamos agora, recordar um dado do exercício: a probabilidade de ocorrer cara é equivalente a 3 vezes a probabilidade de ocorrer coroa, logo se: P ( c o r o a ) = p   →   P ( c a r a )   = 3 p

Como o evento é único em um lançamento (ou ocorre cara ou ocorre coroa) a soma das probabilidades de dar cara ou dar coroa tem de ser igual a probabilidade do espaço amostral.

Matematicamente:

P c a r a + P c o r o a = 1 → p + 3 p = 1 → p = 1 4

Reescrevendo: P c o r o a = 1 4 ;   P c a r a = 3 4

P(x=0) é a probabilidade de não ocorrer nenhuma coroa.

Calculando:

P x = 0 = 3 4 × 3 4 = 9 16

P(x=1) é a probabilidade de ocorrer apenas uma coroa.

P x = 1 = 3 4 × 1 4 + 1 4 × 3 4 = 3 8

P(x=2) é a probabilidade de ocorrer duas coroas.

P x = 2 =   1 4 × 1 4 = 1 16

Agora, temos tudo que precisamos.

Passo 3

Voltando a expressão do valor esperado, podemos concluir que:

E X = 0 9 16 + 1 3 8 + 2 1 16 = 1 2

Resposta

Logo, o valor esperado de coroas é E X = 1 2

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