Enunciado

O número de divórcios por indivíduo adulto casado, em certa comunidade, foi modelado pela variável aleatória D , cuja função de probabilidade é apresentada a seguir.

Uma amostra, representada por   ( D 1 ,   D 2 ) ,   foi sorteada com dois desses indivíduos e os seguintes estimadores, para média de divórcios, foram considerados: μ 1 ^ = D 1 D 2 e μ 2 ^ = máximo – mínimo. Para cada estimador, obtenha sua distribuição de probabilidade e verifique se é viciado.

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício? Vamos construir uma tabela para distribuição de probabilidade de   ( D 1 ,   D 2 ) :

Assim,

P D 1 × D 2 = 0 = 0,25 + 0,2 + 0,025 + 0,0025 + 0,2 + 0,025 + 0,025 = 0,75

P D 1 × D 2 = 1 = 0,16 ; P D 1 × D 2 = 2 = 0,02 + 0,02 = 0,04

P D 1 × D 2 = 3 = 0,02 + 0,02 = 0,04 ;   P D 1 × D 2 = 4 = 0,0025

P D 1 × D 2 = 6 = 0,0025 + 0,0025 = 0,005 ; P D 1 × D 2 = 9 = 0,0025

μ 1 ^ = D 1 D 2 :

Para este estimador, temos a esperança:

E μ 1 ^ = 0 × 0,75 + 1 × 0,16 + 2 × 0,04 + 3 × 0,04 + 2 × 0,0025 + 6 × 0,005 + 3 × 0,0025 = 0,3106 .

Passo 2

Vamos lá! Vamos agora construir uma tabela para a distribuição de máximo – mínimo:

Observação: o valor entre parênteses representa a probabilidade de ocorrência. Dessa forma, podemos então obter a distribuição de probabilidade do estimador:

Para este estimador, temos a esperança:

E μ ^ 2 = 0 × 0,415 + 1 × 0,445 + 2 × 0,09 + 3 × 0,05 = 0,775 .

Passo 3

Vamos lá, para verificar se estes estimadores são viciados, vamos calcular a esperança da população:

E D = 0 × 0,5 + 1 × 0,4 + 2 × 0,05 + 3 × 0,05 = 0,65

Como os valores das esperanças de ambos os estimadores diferem do valor da esperança da população, concluímos que eles são viciados.

Resposta

Assim, concluímos que ambos os estimadores são viciados.

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