Enunciado

O número total de horas, em unidades de cem horas, que uma família utiliza o aspirador de pó no período de um ano é a variável aleatória X, tendo a função de densidade dada no Exercício 4.15. Determine a variância de X.

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Nesse exercício queremos a variância de X , para isso relembremos a seguinte relação:

σ 2 = E X 2 - E ( X ) 2

Logo, precisamos calcular E ( X ) e E X 2 , mas para isso vamos relembrar a função densidade de probabilidade dada no exercício 4.15:

f x = { x ,     0 < x < 1   2 - x ,     1 ≤ x < 2   0 ,     c a s o   c o n t r á r i o .  

Show! Com tudo isso enunciado podemos seguir e resolver o exercício.

Passo 2

Vamos calcular E ( X ) :

E X = ∫ - ∞ 0 0 x d x + ∫ 0 1 x 2 d x + ∫ 1 2 x ( 2 - x ) d x + ∫ 2 ∞ 0 x d x = ∫ 0 1 x 2 d x + ∫ 1 2 x ( 2 - x ) d x

Agora vamos resolver as integrais obtidas anteriormente.

E X = x 3 3 | 1 0 + x 2 - x 3 3 | 2 1 = 1 3 + 2 3 = 1

Passo 3

E agora, vamos calcular E X 2 , de maneira semelhante:

E X 2 = ∫ - ∞ 0 0 x 2 d x + ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 x 2 ( 2 - x ) d x + ∫ 2 ∞ 0 x d x = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 x 2 ( 2 - x ) d x

Agora vamos resolver as integrais obtidas anteriormente.

E X 2 = x 4 4 | 1 0 + 2 x 3 3 - x 4 4 | 2 1 = 7 6

Passo 4

Agora vamos voltar a expressão da variância e substituir os valores:

σ 2 = E X 2 - E ( X ) 2

Substituindo:

σ 2 = 7 6 - 1 2 = 1 6

Resposta

σ 2 = 1 6

Exercícios de Livros Relacionados

Repita o problema anterior, se a procura por rosas e cravos forem iguais e corresponderem ao dobro da procura por jasmins.Problema anterior:Uma floricultura vende rosas, cravos e jasmins com lucro de,
Para um exame com 25 questões do tipo certo-errrado, um estudante sabe a resposta correta de 17 questões e responde as demais chutando.Calcule a probabilidade dele acertar pelo menos 90% das respostas
Admita que, em cada corrida de Fórmula l, o motor tem 0,4 de probabilidade de quebrar, independentemente das corridas anteriores. Suponha que a equipe encerrará sua participação no torneio quando o mo
Numa indústria farmacêutica, uma máquina produz 100 cápsulas por minuto. A máquina está regulada de modo que no máximo 5 % das cápsulas não contenham remédio e, assim, sejam consideradas defeituosas.b
Suponha que a demanda por certa peça, numa loja de autopeças, seguinte modelo:b. Calcule a demanda esperada.