Enunciado

Um pesquisador médico obtém os valores (em mm Hg) da pressão sistólica de mulheres na faixa etária 18-24, relacionados a seguir, que sofreram uma infecção causada por um vírus recentemente. (Como no Exercício 1, as mulheres naquela faixa etária têm pressão sistólica normalmente distribuídas, com média de 114,8 e desvio-padrão de 13,1.)

a. Determine a média amostral x - e o desvio-padrão s .

b. Ao nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que a amostra provém de uma população com média igual a 114,8.

c. Utilizando os dados amostrais, construa um intervalo de 95% de confiança para a média populacional μ . Os limites do intervalo abrangem o valor 114,8, que é a média para mulheres sadia na faixa etária de 18-24?

d. Ao nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que a amostra provém de uma população com desvio-padrão igual a 13,1, que é o desvio-padrão para mulheres sadias na faixa etária 18-24.

e. Com base nos resultados precedentes, parece que o novo surto de infecção afeta a pressão sistólica?

Passo 1

Fala ae, pessoal! Bora fazer esse exercício! Mas se preparem, porque esse em bem grandinho...

Vamos resolver a letra “a” primeiro. Para isso, vamos recorrer ao conjunto de dados e calcular a média e o desvio-padrão. Eu obtive os seguintes resultados:

x - = 1 n ∑ i = 1 n x i = 124,23

s = ∑ i = 1 n x i - x - 2 n - 1 = 22,52

Passo 2

Para a letra “b”, vamos fazer o procedimento padrão do teste de hipóteses. Nossa hipótese nula e a nossa hipótese alternativa nesse problema, são:

H 0 : μ = 114,8

H 1 : μ ≠ 114,8

Onde H 0 é a nossa hipótese original.

Como n < 30 e σ é desconhecido (para a letra “b”), podemos fazer este teste utilizando a distribuição t de Student. Como vamos trabalhar com uma distribuição t de Student, o passo agora é calcular a estatística de teste.

t =   x - - μ s n

t =   ( 124,23 ) - ( 114,8 ) ( 22,52 ) 16 = 1,675

Como o nosso teste é bilateral, temos α = 0,02 5 em cada cauda, então, para n - 1 = 15 , procuramos o valor relacionado a essa área na tabela da distribuição t de Student.

Pela tabela, obtemos o valor crítico:

t = 2,131

Passo 3

Vamos dar uma olhada no gráfico abaixo:

Como t = 1,675 está fora da região crítica, não rejeitamos a hipótese nula H 0 .

Passo 4

Agora vamos para a letra “c”. Nas condições apresentadas, um intervalo de 95% de confiança vai ser um intervalo do tipo:

x - - E < μ < x - + E

Onde ( t α 2 é o valor crítico obtido na letra “b”):

E = t α 2 s n

E = 2,131 22,52 16 = 11,997

Então, o intervalo de 95% de confiança vai ser:

124,23 - 11,997 < μ < 124,23 + 11,997

112,233 < μ < 136,227

Passo 5

Na letra “d”, vamos repetir aquele procedimento padrão para testes de hipóteses, mas dessa vez para o desvio-padrão. A nossa hipótese nula e a nossa hipótese alternativa nesse problema, são:

H 0 : σ = 13,1

H 1 : σ ≠ 13,1

Onde H 0 é a nossa hipótese original.

Como a afirmação é sobre um desvio-padrão, vamos aplicar a distribuição qui-quadrado.

χ 2 = n - 1 s 2 σ 2

χ 2 = 16 - 1 22,52 2 13,1 2 = 44,329

Dando uma olhada na hipótese, vemos que o teste realizado será bilateral, então vamos ter dois valores críticos, um para a cauda esquerda e outro para a cauda direita. Observação: não vamos esquecer que n - 1 = 15 ein.

O valor crítico da esquerda vai ser o valor mostrado na tabela da distribuição qui-quadrado para:

1 - α 2 = 0,975

Então, o valor crítico da esquerda vai ser 6,262 .

E o valor crítico da direita vai ser o valor mostrado na tabela da distribuição qui-quadrado para:

α 2 = 0,025

Então, o valor crítico da direita vai ser 27,488 .

Passo 6

Vamos dar uma olhada no gráfico abaixo:

Como χ 2 = 44,329 está dentro da região crítica, rejeitamos a hipótese nula H 0 .

Resposta

a. x - = 124,23 e s = 22,52

b. Não há evidencia suficiente para garantir a rejeição da afirmação de que a amostra provém de uma população com média igual a 114,8 mm Hg.

c. x - - E < μ < x - + E

d. Há evidência suficiente para garantir a rejeição da afirmação de que a amostra provém de uma população com desvio-padrão igual a 13,1.

e. Com base nos resultados, não podemos afirmar que o surto da infecção afeta a pressão sistólica (com base na média das pressões), mas como houve uma alteração no desvio-padrão, esta infecção pode ter afetado a pressão sistólica de algumas mulheres, ocasionando essa alteração no desvio-padrão.

Ver Outros Exercícios desse livro