Enunciado

Preparação para intervalo de predição, problema 24 . As vendas diárias ( Y ) de um grande centro de compras seguem uma distribuição normal com média igual a $ 100 e desvio padrão igual a $ 20 .

  1. Qual o intervalo que contém 95 % das vendas diárias?
  2. Se   X -   representar a média de amostras de vendas de nove dias, qual intervalo conterá 95 % das médias?
  3. Compare e interprete os dois intervalos acima.Suponha, agora, que não se conheça nem a média nem o desvio padrão da população.Sorteou-se uma amostra de nove dias com as seguintes vendas diárias:
  4. Qual a melhor estimativa para a média populacional?
  5. E para o desvio padrão populacional?
  6. Construa um intervalo de confiança ( I C ) de 95 % para a média populacional.
  7. Construa um I C para a variância populacional.
  8. Explique em poucas palavras o significado dos intervalos obtidos em ( f ) e ( g ) .
  9. Suponha, agora, que baseado nessa amostra você deva responder à pergunta (a).
  10. Como você não conhece a média e a variância populacional, você decide “emprestar” os respectivos valores da amostra e calcular o intervalo. Qual seria esse intervalo? Você tem alguma restrição a essa resposta?

  11. Consultando um livro de Estatística, você encontrou a seguinte fórmula para prever uma possível observação futura, Y f   I P Y j ;   γ = y - = t γ S 1 + 1 / n   Esse intervalo é chamado intervalo de predição (ou previsão). Construa o   I P   e interprete o resultado.
  12. Compare com a resposta dado em (h), explicando a diferença entre eles.

Passo 1

Temos que, por a : X - = 100 ; S = 20 . Assim, I C = x - ± Z 1 - α 2 × δ = 100 ± 1,96 × 20 = ] 60,8 ; 139,2 [ .

Por b ,   I C = x - ± Z 1 - α 2 × δ n = 100 ± 1,96 × 20 9 = ] 86,9 ; 113,1 [ .

Já do item c , a amplitude do intervalo para as médias de amostras com 9   observações é menor do que o intervalo para as vendas diárias.

Em d ,   a melhor estimativa será dada por:

X - = ∑ i = 1 9 X i n = 150,778 .

Passo 2

Em e ,   o desvio padrão populacional será dado por:

S = ∑ i = 1 9 x i - x - 2 n = 20,376 .

Em f ,   I C = X - ± t 1 - α 2 × s n = 150,778 ± 2,306 × 20,38 3 = ] 135,113 ; 166,443 [ .

Em g ,   temos:

I C = s 2 × n - 1 χ s u p 2   ; s 2 × n - 1 χ i n f 2 = 20,38 2 × 8 17,534 ;   20,38 2 × 8 2,18 = 189,5 ; 1524,2 .

Em h ,   os intervalos acima construídos têm uma probabilidade de 95 % de conterem os verdadeiros valores da média e da variância populacionais ( μ e δ ).

Passo 3

Por i ,   I C = X - ± Z 1 - α / 2 × δ = 150,778 ± 1,96 × 20,376 = ] 110,841 ; 190,715 [ .

Para j ,   I P = Y f ;   γ = Y - ± t γ × s × 1 + 1 n = 150,778 ± 2,306 × 20,376 × 1 + 1 9 = ] 101,249 ; 200,307 [ .

Por fim, em k , mas não menos imporante, o intervalo encontrado em ( i ) está contido no intervalo encontrado em j , sendo este último mais conservativo.

Resposta

Portanto, conclui-se o que nos foi pedido.

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