Enunciado

O problema do aniversário. Considere   k pessoas numa sala. Qual a probabilidade de que pelo menos duas pessoas façam aniversário no mesmo dia e mês? A partir de qual valor de k essa probabilidade é maior que 0,5 ?

(Sugestão: seja   o   e v e n t o   “ p e l o   m e n o s   d u a s   p e s s o a s   f a z e m   a n i v e r s á r i o   n o   m e s m o   d i a ” .

O evento complementar é   A c : “todas as k pessoas fazem aniversário em dias diferentes”.

Calcule primeiro a   P ( A c ) .   Para isso, use o resultado do Problema 53 . Aqui, temos   N   =   365

dias e   k   =   n pessoas. Se P ( A )   =   p , então mostre que

1 - p = P A C = 365 k 365 k = 365 × 364 × 363 × … × 365 - k + 1 365 k .

Note que há   k fatores no numerador e no denominador dessa expressão.)

Passo 1

A probabilidade de que duas pessoas aniversariem em datas distintas é de 364 / 365 , considerando que há 364 datas disponíveis para que a segunda pessoa faça aniversário, desconsiderando a data de aniversário da primeira.

Com raciocínio análogo, é fácil verificar que a probabilidade de uma terceira pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que nenhuma das outras duas pessoas é de 363 / 365 , e assim por diante. Daí, temos que a probabilidade de que ocorram todos estes eventos, ou seja, que nenhuma data coincida, é o produto dessas probabilidades. Assim, em um conjunto com k pessoas, teríamos:

1 - p = P A C = 365 365 × 364 365   × 363 365   ×   362 365   × ⋯ × 365 - k + 1 365  

Com uma boa calculadora em mãos, podemos calcular qual seria esta probabilidade para alguns valores de k . Para k = 23 , por exemplo, a probabilidade é de ≈ 50,72 % .

Resposta

Assim, concluímos os resultados.

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