Enunciado

O projeto eficaz de determinados tipos de incineradores de lixo municipal necessita de informaçôes sobre o conteúdo de energia do lixo. Os autores do artigo "Modeling the Energy Content of Municipal Solid Waste Using Multiple Regression Analysis" ( J . of the Air and Waste Mgmt. Assoc., 1996, p. 650-656) gentilmente nos forneceram os dados a seguir sobre y = conteúdo de energia ( k c a l / k g ) , as três variáveis de composição física x 1 = % plásticos por peso, x 2 = % papel por peso e x 3 = % de lixo por peso, e a variável de análise adjacente x 4 = % umidade por peso para amostras de lixo obtidas de uma determinada região

Usando o MINITAB para ajustar um modelo de regressão múltipla com as quatro variáveis antes mencionadas como previsores do conteúdo de energia, foi obtido o seguinte resultado:

a. Interprete os valores dos coeficientes de regressão estimados β ˆ 1 e β ˆ 4 .

b. Expresse e teste as hipóteses apropriadas para determinar se a aderência do modelo aos dados especifica uma relação linear útil entre o conteúdo de energia e pelo menos um entre os quatro previsores.

c. Visto que a % de plásticos, % de papel e % de água permanecem no modelo, a % de lixo fornece informaçōes úteis sobre o conteúdo de energia? Expresse e teste as hipóteses apropriadas usando um nível de significância de 0,05 .

d. Baseie-se no fato de que s Y ˜ = 7,46 quando x 1 = 20 , x 2 = 25 , x 3 = 40 e x 4 = 45 para calcular um intervalo de confiança de conteúdo médio real de energia sob essas circunstâncias. O intervalo resultante sugere que o conteúdo médio de energia foi estimado com precisão?

e. Use as informações fornecidas na parte (d) para prever o conteúdo de energia de uma amostra de lixo com as características especificadas de uma maneira que transmita informações sobre precisão e confiabilidade.

Passo 1

E aí pessoal partiu para mais uma questão de (probabilidade)? Abaixo começaremos trazendo algumas informações do enunciado:

Interprete os valores dos coeficientes de regressão estimados β ˆ 1 e β ˆ 4

a. Para um aumento de 1% na porcentagem de plásticos, esperaríamos um aumento de 28,9kcal/kg no conteúdo de energia. Além disso, para um aumento de 1% na umidade, esperaríamos uma redução de 37,4kcal/kg no conteúdo de energia.

Passo 2

b. As hipóteses apropriadas são H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = β 4 = 0 vs. H a : pelo menos um β i ≠ 0 . O valor da estatística do teste F é 167,71, com um valor p correspondente extremamente pequeno. Assim, rejeitamos Ho e concluímos que pelo menos um dos quatro preditores é útil na previsão do conteúdo de energia, usando um modelo linear.

Passo 3

c. H 0 : β 3 = 0 vs. H a : β 3 ≠ 0 . O valor da estatística do teste t é t=2,24, com um valor p correspondente de 0,034, que é menor que o nível de significância de 0,05. Assim, podemos rejeitar Ho e concluir que a porcentagem de lixo fornece informações úteis sobre o consumo de energia, uma vez que os outros três preditores permanecem no modelo.

Passo 4

d. y ˆ = 2244.9 + 28.925 ( 20 ) + 7.644 ( 25 ) + 4.297 ( 40 ) - 37.354 ( 45 ) = 1505.5 ,  

e t . 025,25 = 2.060 . (Observe um erro no texto: s_y ˙ =12,47, não 7,46). Portanto, um C.I de 95% para o verdadeiro conteúdo médio de energia nessas circunstâncias é

1505,5±(2,060)(12,47)=1505,5±25,69=(1479,8,1531,1). Como o intervalo é razoavelmente estreito, concluímos que o conteúdo médio de energia foi estimado com precisão.

Passo 5

e.Um intervalo de previsão de 95% para o conteúdo de energia de uma amostra de resíduo com as características especificadas é 1505.5 ± ( 2.060 ) ( 31.48 ) 2 + ( 12.47 ) 2 = 1505.5 ± 69.75 = ( 1435.7,1575.2 )

Resposta

a. Além disso, para um aumento de 1% na umidade, esperaríamos uma redução de 37,4kcal/kg no conteúdo de energia.

b. Assim, rejeitamos Ho e concluímos que pelo menos um dos quatro preditores é útil na previsão do conteúdo de energia, usando um modelo linear.

c. Assim, podemos rejeitar Ho e concluir que a porcentagem de lixo fornece informações úteis sobre o consumo de energia, uma vez que os outros três preditores permanecem no modelo.

d. Como o intervalo é razoavelmente estreito, concluímos que o conteúdo médio de energia foi estimado com precisão.

e. ( 1435.7,1575.2 )

Espero que tenham aprendido com essa questão, até a próxima !

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