Enunciado

O artigo "The Undrained Strength of Some Thawed Permafrost Soils" (Canadian Geotechnical J., 1979, p. 420-427) contém os dados a seguir sobre a resistência ao corte sem drenagem de solos arenosos ( y , em kPa), profundidade x 1 , e m m volume de água x 2 , e m %

Para calcular os valores previstos e os resíduos, foi ajustado um modelo quadrático completo, que gerou a função de regressão estimada

y = - 151,36 - 16,22 x 1 + 13,48 x 2 + 0,094 x 1 2 - 0,253 x 2 2 + 0,492 x 1 x 2

a. Os gráficos de e * versus x 1 , e * versus x 2 e e* versus y ˆ sugerem que o modelo quadrático completo deve ser modificado? Justifique sua resposta.

b. O valor de R 2 para o modelo quadrático completo é 0,759. Teste as hipóteses nulas no nível 0,05 estabelecendo que não há nenhuma relação linear entre a variável dependente e qualquer um dos cinco previsores.

c. É possível mostrar que V ( Y ) = σ 2 = V ( Y ˆ ) + V ( Y - Y ˆ ) . A estimativa de σ é σ ˆ = s = 6,99 ( c o m base no modelo quadrático completo). Primeiro obtenha o desvio padrão estimado de Y - Y ˆ e, em seguida, estime o desvio padrão de Y ˆ (isto é, β ˆ 0 + β ˆ 1 x 1 + β ˆ 1 x 2 + β ˆ 1 x 1 2 + β ˆ 4 x 2 2 + β ˆ 5 x 1 x 2 ) quando x 1 = 8,0 e x 2 = β ˆ 2 x 2 + β ˆ 3 x 1 2 + β ˆ 4 x 2 2 + β ˆ 5 x 1 x 2 ) quando x 1 = 8,0 e x 2 = 33,1 Por fim, calcule um IC de 95 % para a resistência média. [Sugestāo: Qual é ( y - y ˆ ) / e * ?]

d. Se calibrarmos o modelo de primeira ordem com a função de regressão μ γ ⋅ s 1 ⋅ x 2 = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 , obteremos S Q E = 894,95 . Usando o nível 0,05 , teste a hipótese nula que expressa que todos os termos quadráticos podem ser excluídos do modelo.

Passo 1

E aí pessoal partiu para mais uma questão de (probabilidade)? Abaixo começaremos trazendo algumas informações do enunciado:

Os gráficos de e * versus x 1 , e * versus x 2 e e* versus y ˆ sugerem que o modelo quadrático completo deve ser modificado? Justifique sua resposta

a. Não, não há padrão nos gráficos que indique que uma transformação ou a inclusão de outros termos no modelo produziria um ajuste substancialmente melhor.

Passo 2

O valor de R 2 para o modelo quadrático completo é 0,759. Teste as hipóteses nulas no nível 0,05 estabelecendo que não há nenhuma relação linear entre a variável dependente e qualquer um dos cinco previsores

b. k = 5 , n - ( k + 1 ) = 8 , so H 0 : β 1 = … = β 5 = 0 será rejeitado se f ≥ F . 05,5 , 8   = 3.69 ; f = ( . 759 ) / 5 ( . 241 ) / 8 = 5.04 ≥ 3.69 , então rejeitamos H 0 . Pelo menos um dos coeficientes não é igual a zero.

Passo 3

É possível mostrar que V ( Y ) = σ 2 = V ( Y ˆ ) + V ( Y - Y ˆ ) . A estimativa de σ é σ ˆ = s = 6,99 ( c o m base no modelo quadrático completo). Primeiro obtenha o desvio padrão estimado de Y - Y ˆ e, em seguida, estime o desvio padrão de Y ˆ (isto é, β ˆ 0 + β ˆ 1 x 1 + β ˆ 1 x 2 + β ˆ 1 x 1 2 + β ˆ 4 x 2 2 + β ˆ 5 x 1 x 2 ) quando x 1 = 8,0 e x 2 = β ˆ 2 x 2 + β ˆ 3 x 1 2 + β ˆ 4 x 2 2 + β ˆ 5 x 1 x 2 ) quando x 1 = 8,0 e x 2 = 33,1 Por fim, calcule um IC de 95 % para a resistência média.

c. Quando x 1 = 8.0 e x 2 = 33.1 a residual é e = 2.71 e o padrão residual é e * = . 44 ; uma vez que e * = e / ( s d do residual), sd do residual = e / e * = 6.16 . Então a variância estipulada Y ˆ é ( 6.99 ) 2 - ( 6.16 ) 2 = 10.915 , então o estimado sd é 3.304. Uma vez que y ˆ = 24.29 e t . 025,8 = 2.306 , o desejado C.I.é 24.29 ± 2.306 ( 3.304 ) = ( 16.67,31.91 )

Passo 4

d .   F 005,3 , 8 = 4.07 , so H 0 : β 3 = β 4 = β 5 = 0 será rejeitado se f ≥ 4.07 . Com S S E k = 8 , s 2 = 390.88 , e f = ( 894.95 - 390 . 88 ) / 3 ( 390.88 ) / 8 = 3.44 , e uma vez que 3.44 não é ≥ 4.07 , H 0 não pode ser rejeitado e todos os termos quadráticos devem ser excluídos. (n.b.: esta não é uma modificação que seria sugerida por uma parcela residual.

Resposta

a. Não, não há padrão nos gráficos que indique que uma transformação ou a inclusão de outros termos no modelo produziria um ajuste substancialmente melhor.

b. Pelo menos um dos coeficientes não é igual a zero.

c. ( 16.67,31.91 )

d. não pode ser rejeitado e todos os termos quadráticos devem ser excluídos. (n.b.: esta não é uma modificação que seria sugerida por uma parcela residual.

Espero que tenham aprendido com essa questão, até a próxima !

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