Enunciado

No projeto de um produto eletromecânico, sete componentes diferente devem empilhados em um revestimento cilíndrico que prende 12 componentes em uma maneira que minima o impacto a choques. Uma ponta do revestimento é projetada como o fundo e outra como o topo.

  1. Quantos projetos diferentes são possíveis?
  2. Se os sete componentes forem todos idênticos, quantos projetos diferentes são possíveis?
  3. Se os sete componentes consistem em três de um tipo de componente e quatro de outro tipo, quantos projetos diferentes são possíveis? (mais difícil)

Passo 1

Letra a:

O número de permutações de n elementos diferentes é n ! . Portanto, já que temos 6 amostras de controle diferentes, a solução é:

12 ! = 479001600

Passo 2

Letra b:

O número de permutações de n = n 1 + n 2 + . . . + n r onde n 1 são de um tipo, n 2 de um segundo tipo, …, n r são de um tipo r-ésimo é:

n ! n 1 ! n 2 ! n 3 ! . . . n r !

Como 12 - 7 = 5 componentes são diferentes, temos n 1 , . . . ,   n 5 são iguais a 1, e 7 são idênticos, portanto n 6 = 7 , então temos:

12 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 7 ! = 95040

Passo 3

Letra c:

O número de permutações de n = n 1 + n 2 + . . . + n r dos quais n 1 são de um tipo, n 2 de um segundo tipo, ..., n r são de um tipo r-ésimo é:

n ! n 1 ! n 2 ! n 3 ! . . . n r !

Como 12 - 3 - 4 = 5 componentes são diferentes, temos n 1 , . . . , n 5 são iguais a 1, 3 são idênticos, portanto, n 6 = 3 e os últimos 4 são idênticos, n 7 = 4 . Temos então:

12 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 3 ! 4 ! = 3326400

Resposta

  1. 479001600
  2. 95040
  3. 3326400
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