Enunciado

Determine o valor de se tornar função uma função densidade probabilidade conjunta logo da faixa. Determine o seguinte: distribuição de probabilidade marginais de X

Passo 1

Temos a seguinte função de densidade de probabilidade:

f X Y ( x , y ) = 0 ,   e m   o u t r o   c a s o .

f X Y ( x , y ) = e e - 2 x e - 3 y ,   0 < y < x .

Antes de começarmos o exercício, vamos resolver uma integral em detalhes que vamos usar mais tarde.

Seja k > 0 uma constante arbitrária, olhe para o seguinte integral:

∫ e - k x d x = - 1 k e - k x

e a seguinte integral:

∫ x e - k x d x =   - 1 k x e - k x + 1 k e - k x

A função de densidade de probabilidade f X ( x ) da variável aleatória contínua X satisfaz o seguinte:

∫ - ∞ ∞ f X ( x ) d x = 1

Usando isso, para uma variável aleatória bidimensional (X, Y). podemos encontrar a constante c:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f X Y ( x , y ) d x d y =

= ∫ 0 ∞ ∫ 0 x e e - 2 x e - 3 y d y d x =

= c ∫ 0 ∞ e - 2 x ( - 1 3 e - 3 y x 0 ) d x =

= e - 1 3 ∫ 0 ∞ e - 2 x ( e - 3 x - 1 ) d x =

= - e 1 3 ( - 1 5 e - 5 x ∞ 0 - - 1 2 e - 2 x ∞ 0 ) =

= - e 1 3 ( 1 5 - 1 2 ) =

= e 1 10

Em qualquer outro lugar a função f X Y ( x , y ) = 0 . Cuidado com os limites integrais!

Assim, a partir disso, temos:

c 1 10 = 1

c = 10

Temos a função de densidade de probabilidade:

f X Y ( x , y ) = 0 ,   e m   o u t r o   c a s o .

f X Y = 10 e - 2 x e - 3 y ,   0 < y < x .

Antes de continuarmos, para qualquer conjunto A, podemos calcular P(A) como:

P ( X ∈ A ) = ∫ A f X ( x ) d x

para qualquer variável aleatória contínua X.

Passo 2

Letra a:

Usando P ( X ∈ A ) = ∫ A f X ( x ) d x , temos:

P ( X < 1 , Y < 2 ) =

= ∫ 0 1 ∫ 0 x 10 e - 2 x e - 3 x d y d x =

= 0.77893

para y > x a função de densidade de probabilidade é 0. A integral acima pode ser resolvida da mesma forma que já resolvemos antes.

Passo 3

Letra b:

P ( 1 < X < 2 ) =

= ∫ 1 2 ∫ 0 x 10 e - 2 x e - 3 y d y d x =

= 0.19057

Passo 4

Letra c:

P ( 3 < Y ) =

= ∫ 3 ∞ ∫ 3 x 10 e - 2 x e - 3 y d y d x =

= 0.3059 × 1 0 - 6

Aqui nós temos quase certeza que { X > 0 } , então obtemos o evento { 3 < X ,   3 < Y ,   Y < X } porque para X ∈ { 0,3 } ,   X < 3 < Y e a função de densidade de probabilidade é 0 (escrevemos 3 < X no evento apenas para que você possa ver porque a integral tem essa aparência, você não precisa escrevê-la, { 3 < Y < X } é o suficiente).

Passo 5

Letra d:

P ( X < 2 , Y < 2 ) =

= ∫ 0 2 ∫ 0 x 10 e - 2 x e - 3 y d y d x =

= 0.9695

Passo 6

Letra e:

Uma vez que a variável aleatória que nos é dada é contínua, porque temos função de densidade conjunta que é uma função contínua, calculamos a expectativa como:

E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f X ( x ) d x

Vamos calcular as funções de densidade marginal como:

f X ( x ) = ∫ - ∞ ∞ f X Y ( x , y ) d y

Em combinação com os dois acima, temos:

E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f X ( x ) d x =

= ∫ - ∞ ∞ x ( ∫ - ∞ ∞ f X Y ( x , y ) d y ) d x =

= ∫ 0 ∞ x ( ∫ 0 x e - 2 x e - 3 y d y ) d x =

= 7 10

Passo 7

Letra f:

Em combinação dos dois acima, o mesmo que para E ( X ) , temos:

E ( Y ) = ∫ - ∞ ∞ y f Y ( y ) d y =

= ∫ - ∞ ∞ y ( ∫ - ∞ ∞ f X Y ( x , y ) d x ) d y =

= ∫ 0 ∞ y ( ∫ 0 x e - 2 x e - 3 y d y ) d x =

= 1 5

Passo 8

Letra g:

Pela definição que demos acima, podemos calcular a distribuição de densidade marginal como, para x > 0 :

f X ( x ) = ∫ - ∞ ∞ f X Y ( x , y ) d y =

= 10 ∫ 0 x e - 2 x e - 3 y d y =

= 10 3 ( e - 2 x - e - 5 x )

e para x ≤ 0 a probabilidade é 0, porque f X Y ( x , y ) = 0 . Portanto, temos que a função de densidade marginal f X ( x ) é:

f X ( x ) = 0 ,   e m   o u t r o   c a s o .

f X ( x ) = 10 3 ( e - 2 x - e - 5 x ) ,   x > 0 .

Passo 9

Letra h:

Para duas variáveis ​​aleatórias X e Y, a distribuição de probabilidade condicional Y | X = x pode ser calculado como:

f Y | X = x ( y ) = f X Y ( x , y ) f X ( x )

Usando isso nós temos, para 0 < y < 1 :

f Y | X = 1 ( y ) = f X Y ( 1 , y ) f X ( 1 ) = 10 e - 2 e - 3 y 10 3 ( e - 2 - e - 3 ) = 3 e - 2 e - 3 y ( e - 2 - e - 3 )

para todas os outros y, a probabilidade é 0, lembre-se de que y < x !

Passo 10

Letra i:

Já temos a definição de expectativa (veja acima), então:

E ( Y | X = 1 ) = ∫ 0 1 y 3 e - 2 e - 3 y ( e - 2 - e - 3 ) d y =

= 3 e - 2 ( e - 2 - e - 3 ) ∫ 0 1 y e - 3 y d y =

= 0.2809

Passo 11

Letra j:

Distribuição de probabilidade condicional de X dado que Y = 2 , para x > 2 é:

f X | Y = 2 ( x ) = f X Y ( x , 2 ) f Y ( 2 ) = 10 e - 2 x e - 6 5 e - 5 = 2 e - 2 x e 4

para todos os outros x é 0. Aqui usamos que f Y ( y ) = 5 × e - 5 y para 0 < y e 0 caso contrário (pode ser calculado como distribuição marginal f Y ( y ) = ∫ 0 ∞ 10 e - 2 x e - 3 x d x ).

Resposta

  1. c=10
  1. 0.77893
  2. 0.19057
  3. 0.3059 × 1 0 - 6
  4. 0.9695
  5. 7 10
  6. 1 5
  7. Ver resolução
  8. Ver resolução
  9. 0.2809
  10. Ver resolução.
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