Enunciado

Prove ( 5.4 ). (Sugestão: Escreva U ∪ V e V como reuniões de eventos mutuamente exclusivos.).

Passo 1

Sejam os eventos V e V ∪ U :

V = U ∩ V ∪ U c ∩ V ;

U ∪ V = ( U c ∩ V ) ∪ U

Como os eventos U ∩ V e U c ∩ V são mutualmente excludentes, temos:

P V = P U ∩ V + P U c ∩ V

Analogamente, como os eventos U c ∩ V e U são mutualmente excludentes, temos:

P U ∪ V = P U c ∩ V + P ( U )

Subtraindo as probabilidades acima, temos:

P V - P U ∪ V = P U ∩ V - P U

⇒ P ( U ∪ V ) = P U + P V - P ( U ∩ V )

Resposta

Logo,

P U ∪ V = P U + P V - P U ∩ V .

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