Enunciado

Refira-se à configuração de sistema série-paralelo apresentada no Exemplo 2.35 e suponha que haja apenas duas células em vez de três em cada subsistema paralelo [na Figura 2.14(a), elimine as células 3 e 6 e renumere as células 4 e 5 como 3 e 4]. Usando P(Ai) = 0,9, a probabilidade de que a vida útil do sistema exceda t0 é facilmente vista ser 0,9639. Para que valor 0,9 teria de ser alterado para aumentar a confiabilidade da vida útil do sistema de 0,9639 para 0,99? (Sugestão: Seja P(Ai) = p, expresse a confiabilidade do sistema em termos de p e assuma x = p²)

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seguindo o exemplo 2.36, usando a dica P ( A i )   =   p ,       i = 1,2 , 3,4 , e renumerando as células, temos

P v i d a   d o   s i s t e m a   e x c e d e   t 0 =   P A 1   ∩   A 2 ∪ A 3 ∩   A 4

= P A 1   ∩   A 2 +   P A 3   ∩ A 4 -   P A 1   ∩   A 2 ∩ A 3   ∩   A 4       ( 1 )

=   P A 1 ⋅ P A 2 + P A 3 ⋅ P A 4 -   P A 1 ⋅ P A 2 ⋅ P A 3 ⋅ P A 4             ( 2 )

=   p 2 + p 2 -   p 4 =   2 p 2 -   p 4

(¹): aqui usamos a proposição dada abaixo,

Proposição: Para cada dois eventos A e B, então P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B ) .

(²): Aplicando a propriedade de multiplicação, (porque os eventos são independentes)

Propriedade da multiplicação:

Dois eventos A e B são independentes se e somente se P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B )

Nos é dada a probabilidade de um tempo de vida do sistema exceder t0, assim temos que:

2 p 2 -   p 4 = 0,99

Fazendo x = p 2 , temos a seguinte equação quadrática:

x 2 - 2 x + 0,99 = 0

Tal equação nos leva às seguintes soluções:

x 1 =   1,1     e     x 2 =   0.9

Consequentemente,

p 1 =   1,049     e     p 2 =   0 , 94 9

Novamente, p é uma probabilidade, e uma probabilidade não pode ser maior que 1, portanto, a única resposta é p =   0,949 .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

p =   0,949

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